IX CLX

servir de la méthode des multiplicateurs. Pour cela on multipliera les deux dernières par des facteurs indéterminés A, fx, et on les ajoutera à la première 5 puis on égalera à zéro

les coefficients H^' ^' et le terme indépendant : ce qui con-

duît aux trois équations

€lx dx ^' dx

dF , d¥t dF,

dF ^dFt dF,

dz dz dz '

d'où Ton éliminera \ et jx; ce qui conduira, comme on le sait par les théories de l'Algèbre, à la même équation que si

l'on avait éliminé autrement -7- » -7- • Ce procédé de calcul

dx dx *

a souvent des avantages sur l'autre.

233. Considérons maintenant une fonction de m variables, liées par m — i équations : ce cas reqferme le précédent, qui s'en déduit en supposant que la fonction se réduise à l'une des variables. Soient, par exemple, les trois équations

F (x, j, 2, m) = o, Fi (jf, 7, z, u) z= o, F, (4?, x^ z, u) — o,

et soit proposé de trouver le maximum de la fonction /"(a?, y^ -5, m). Dans ce cas, aux équations (i), dans lesquelles

— ne serait plus zéro, on joindrait la suivante :

df^ df^ df^dz^ 4f^du dx dy dx dz dx du dx '

•% , * ,-i. . . dy dz du ,1

et de ces quatre équations on éliminerait -7-» -7-5 -r-* Il en * * dx dx dx

résulterait une équation entre a:, y^ z^ u, qui, jointe aux

équations données, déterminerait ces quatre quantités. On

chercterait ensuite la dérivée seconde dey(ar, j^, z, u) par

rapport à x\ elle renfermerait —1 -— ? — -^j qui seront fa-

Caiculinf.D.'-h 21

3aa LIVRE II.

ciles à trouver au moyen des trois équations (i); et ron reconnaîtrait, au signe de cette seconde dérivée, si la fonction / («^î JKî -2?, u) est minimum ou maximum.

On peut remarquer que les équations entre lesquelles on

, ^1 . . dy dz du . , ^ . i ,

a a éliminer -t-j -t-î -7- seraient les mêmes si 1 on avait a

dx dx dx

chercher le maximum de l'une des fonctions F, Fi, Fj,les

deux autres étant égales à zéro, ainsi que y.

Des maxima et minima des fonctions de plusieurs

"variables,

234. On dit qu une fonction F (x^y) des deux variables indépendantes x, y acquiert une valeur maximum, pour certaines valeurs, x^^ y^^ de x et j^, lorsque, en changeant ces variables en Xa -{- h^ y^^ -{- A:, h et k étant des quantités arbitraires comprises entre zéro et des limites positives ou négatives aussi petites que Ton voudra, la fonction est constamment moindre que pour les valeurs x^^^y^. Si, au contraire, elle était constamment plus grande, on dirait qu'elle est minimum pour ces mêmes valeurs.

D'après cela, la différence

doit être constamment négative, quels que soient les valeurs et les signes des quantités infiniment petites h et h^ si F [x^y] est maximum 5 et elle doit être constamment positive dans le cas du minimum. De sorte que ce sera un caractère commun au maximum et au minimum qu'elle soit invariable de signe.

Nous ne considérerons que le cas où la fonction et ses dérivées, jusqu'à l'ordre dont on aura besoin, sont continues Les cas de discontinuité ne donnent pas lieu à des règles générales et se discuteront suivant la question.

D'après une formule précédente, nous aurons, en désignant par a, ai des quantités infiniment petites,

Si -r- et — sont différents de zéro, le sifi^e du second dy dx ? o

membre, lorsque A et A tendront vers zéro, finira par être constamment le même que celui de

dY dY dx dy

Or cette expression change de signe si Ton change A et A de signes sans changer leur grandeur^ donc F(x, j^)'ne serait ni maximum ni minimum, et par conséquent, pour qu'elle puisse être Tun ou Tautre, il est indispensable que l'expression précédente soit nulle \ comme A et A: sont indépendants Fun de l'autre, on devra avoir

d^ dF dx ' dy

Si ces conditions sont remplies, on aura

Fix-hh,y-^A')-V{x,y)

d^F \J^ (AU \ hk (— \ —

dx^ / 1.2 \dxdy j \^^ / i«2'

et si les trois dérivées du second ordre ne sont pas toutes rendues nulles par les valeurs x^y^ le signe du second membre, et par suite de Taccroissement, finira par être le même que celui du trinôme.

d^Yh" d'Y ,, d'F k^ h -rr—r-hk

dx^ 2 dxdy dy^ 2,

Il faut que cette expression soit constamment négative,

quels que soient A et A, pour que F {o^^y) soît maximum, et constamment positive pour qu'elle soit minimum. Si on

la divise par — > ce qui n'en change pas le signe, on obtient

d^F IkV d^Y /A'\ d^Y

\hj dxdy \h

dy^ \h) dxdy \h) dx* '

et pour que ce trinôme ne change pas de signe, quel que soit

-9 et ne soit jamais nul, il faut que Ton ait

/ d^¥ \ d^F d'Y \dxdy)^~^ ~dj?^

d^F d'F condition qui entraîne que -r-^ et -7-^ soient de même signe.

Si elle est satisfaite par les valeurs de :c et j^ tirées des

deux équations

dT dF^

dx dy

. d^F d*F la fonction F (or, jr) sera maximum si -— et -^-j sont néga-

dX '"/

tifs, et minimum s'ils sont positifs.

Si les trois dérivées du second ordre étaient nulles, il faudrait que toutes celles du troisième le fussent, et que le

signe d'un polynôme du quatrième degré par rapport à 7

fût constant : ce qui conduirait à des conditions plus compliquées. On continuerait semblablement si les dérivées du quatrième ordre étaient encore toutes nulles.

235. Ces raisonnements s'étendent facilement à une fonction d'un nombre quelconque de variables indépendantes^ seulement les conditions se compliquent de plus en plus. Dans le cas de trois variables par exemple, on aura les

CALCUL DES DÉRIVéES ET DES DIFFÉREUTIELLES, ETC. 3a&

trois équations

dF __ dF dF

et il faudra que le polynôme

dx^ dy^ dz^

rf'F rf^F d'^F

dxdjr dxdz djrdz

soit constamment de même signe, quels que soient h^h^ L Pour exprimer cette condition, on divisera d'abord par A*^

et si Ton pose -- = p^--= q^ on aura un polynôme de la

forme

Aq^ H- Bp^ + nCpq -f- 2D^ H- 2E/? + F.

En le considérant relativement à la variable q seulement, il faudra, pour qu'il ne change pas de signe, que Ton ait, quel que soit /?,

(C— AB)/?'H- 2(CD — AE)p + D' — AF < o.

On posera sans difficulté la condition pour que ce polynôme

soit de même signe quel que soit p^ et l'on y ajoutera, pour

qu'il soit négatif,

C— AB<o.

De même que le cas de deux indéterminées p^ q se ramène à une seule, on ramènerait celui de trois à deux, et ainsi de suite.

236. Cas d'une fonction implicite, — Proposons-nous de trouver le maximum d'une fonction /{x^ ^y^) ^^ ^^P* posant les variables j:, jr^ z liées par une équation

en vertu de laquelle z est une fonction implicite des deux variables indépendantes x^ y,

La théorie précédente exige que les dérivées partielles de /(a:, y^ z) par rapport k x ex y soient nulles séparément^ ce qui donne

df ^df dz

— ~\ rr: 0>

dx dz dx

équations dans lesquelles on mettra pour — 9 — leurs valeurs tirées des deux suivantes :

dY d¥ dz dY d¥ dz

dx dz dx djr dz djr

On aurait ainsi deux équations entre x, j^, z, qui, jointes à F{x^y^ z) = o^ détermineront x^ y^ z. On formera ensuite les dérivées partielles du second ordre de f[x^y^ z)\ elles dépendront de celles de z, qui seront déterminées par les règles de la différentiation des fonctions implicites à deux variables.

En général, quel que soît le nombre des variables qui entrent dans la fonction, et le nombre des équations qui les lient, il suffira de reconnaître les variables indépendantes, et d'égaler à zéro les dérivées partielles de la fonction par rapport à ces variables. Les équations qui en résulteront, jointes aux équations données, seront toujours en même nombre que les variables et les détermineront. On formera ensuite facilement les dérivées partielles successives de la fonction par rapport aux variables indépendantes, et on les soumettra aux épreuves établies dans la théorie précédente.

On peut donner une autre forme au calcul du maximum ou du minimum d'une fonction de m -I- n variables, liées par n équations, ce qui est le cas le plus général.

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. i^

Il y a alors m variables indépendantes, et Ton devra égaler à zéro les dérivées partielles de la fonction par pap*port à chacune d'elles j ce qui revient à dire qu'on égalera; à zéro la difTérentielle totale de cette fonction, quelles que soient les valeurs des différentielles indépendantes. Et,, pour cela, on tirera des équations données les valeurs des différentielles des variables dépendantes en fonction de celles des variables indépendantes ^ on les substituera dans la différentielle totale de la fonction proposée, puis on égalera à zéro les coefficients de toutes les différentielles qui y sont restées.

Soit f la fonction de m -H /i variables x, j^, z, m,. . ., qui. sont liées par les n équations

on aura tx + 1 équations suivantes :

df ^ df ^ df dx djr dz

-7- dx -h -— dr -h —r- dz-h, , . = 0, €lx djr dz

dM , €/M ^ //M ,

dJH ^ dV ^ €/N ,

— ;— or H — . dr H — - dz -h , . , =z o,

dx dy dz

et Ton doit tirer des n dernières les valeurs des différentielles des n variables dépendantes, les reporter dans la première, et égaler à zéro les coefficients de m difléren* tielles arbitraires qui y resteront. En d'autres termes, ii faut éliminer n différentielles de ces iz + 1 équations, é^" 1er à zéro les coefficients de celles qui subsisteront dans Véquation finale.

Pour faire cette élimination, on multipliera les n dernières équations par des facteurs indéterminés, X, /x, v,. • -^ on les ajoutera à la première, et Ton égalera à zéro les coefficients des n différentielles des variables dépendantes, ce qui déterminera X, fji, v,. . ., puis on égalera à zéro les coefficients des m autres variables ; ce qui revient évidemment à annuler les coefficients de iw -f- » difierentielles, après l'addition des équations, et à éliminer A, fx, v,... de ses m~h n équations •, ce qui conduira à m équaûons entre x^ y^ z^, . .^ qui, jointes aux n équations données, déterminent les valeurs de ces variables qui peuvent donner les maxima et les minima de la fonction proposée. On les distinguera ensuite au moyen des secondes dérivées partielles de la fonction, comme nous l'avons fait connaître ci-dessus.

On peut remarquer que le calcul serait le même si Ton s'était pi'oposé de trouver le maximum ou le minimum absolu de f-h XL -f- fJiM + . . ., en ayant égard ensuite aux équations L = o, M = o.

237. Remarque. — Quelquefois les variables qui entrent dans l'expression dont on cherche le maximum ou le minimum, au lieu d'être liées par les équations, sont assujetties à des inégalités. On ne peut en tenir compte de la même manière que des équations, et l'on agit suivant le cas.

Quelquefois un changement de variables dispense de tenir compte des inégalités ] nous en citerons un exemple.

Supposons qu'on demande le maximum ou le minimum de la distance d'un point donné B (Jig» 84), aux difierents points d'un cercle dont le centre est A et le rayon R, et que l'on exprime la distance BM au moyen de l'abscisse MP du point M du cercle 5 on aura, en faisant AB = a^

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉREliTIELLES, ETC. 829

Si Ton ne remarquait pas que x est assujetti à la condi* tion d'être compris entre — R et + R, et qu'on appliquât la règle ordinaire, on écrirait 2a = o; ce qui ferait penser que le problème est impossible. Une discussion bien simple montre que, en faisant passer a: de — R à -I- R, le maximum a lieu pour j: = — R et le minimum pour or = -H R i mais dans d'autres cas ce pourrait être très-difficile.

Si Ton posait x = R cosy , cp serait l'angle MAB, et il n'y aurait plus aucune condition d'inégalité à exprimer. On aurait alors

BM' = fl2-f- R2— 2«R cos^,

et la règle ordinaire donnerait sincp = o, d'où l'on tirerait f := o, f = ;r, qui donnent le minimum et le maximum deBM.