DES TANGENTES

Tangentes et normales aux courbes planes. Expression générale de la longueur de la tangente, de la sous-tangente, de la normale et de la sous-normale,

238. Plusieurs des questions que nous allons considérer n'auront pour objet que l'application des notations du Calcul difTérenliel à des questions étudiées dans le premier Livre, ou l'extension et la généralisation de ces mêmes questions. Nous commencerons par les tangentes et les normales.

Nous avons appelé, en général, tangente à une courba" la limite vers laquelle tend la direction d'une sécante quipasse par un point constant de cette courbe, et dontur»second point d'intersection se rapproche indéfiniment di*premîer.

Soient F {x^j) == o l'équation d'une courbe quelconque^ et x\ y' les coordonnées du point de cette courbe, auque on veut mener une tangente •, l'équation de la sécante menées par ce point et par celui dont les coordonnées sont j:'+ Aa:'^ y' -\- Aj', et qui appartient aussi à la courbe, sera, dans système quelconque d'axes,

A mesure que le second point d'intersection se rapproch

du premier, — ^ tend vers la dérivée de y par rapport à x^

correspondant à la valeur particulière x'\ il existe donc une direction limite pour la sécante, comme nous Tavons déjà établi \ et, d'a[»*ès les notations convenues, l'équation de cette droite que nous appelons tangente est

Le coefficient ^-j sera déterminé en fonction de x\ y\ d'après les règles du Calcul différentiel, au moyen de Téqua-

dr' dx'

tionF(a:, j) = o, qui donnc^= — — •

5p L'équation de la tangente devient ainsi

^F dY

On appelle normale la perpendiculaire à la tangente, menée par le point de contact. Si les axes sont rectangulaires, son équation sera

I da^

7 — y = -— (^-x'j, ou ^— /^- — (o;-^'),

ou encore

Si les axes des coordonnées font entre eux un angle quelconque 9, l'équation de la normale aura la forme suivante :

, ,, (dY é/F \ , ,, fdY dY \

Si les coordonnées x\ y n'étaient pas données et que la

tangente, ou la normale, fut assujettie à passer par un point donné, ou bien à être parallèle à une droite donnée, on obtiendrait immédiatement, d'après les équations précédentes, une équation entre x\y\ qui, jointe à celle de la courbe, déterminerait ces deux inconnues. Si, au lieu de chercber les solutions réelles de ces deux équations, on construisait les lieux géométriques qu'elles représentent, en y regardant x\ y comme variables, les points d'intersection de ces lieux, dont l'un est la courbe proposée, seraient les points de contact cherchés.

239. On appelle sous-tangente et sous-normale les parties de Taxe des x comprises respectivement entre le pied de l'ordonnée du point de contact et les points où cet axe est rencontré par la tangente et la normale. Elles ont pour expression la valeur x — x' relative à j^ = o dans les équations respectives de la tangente et de la normale. Elles seront dirigées vers les x positifs ou négatifs, à partir du pied de Tordonnée, suivant que x — x' sera positif ou négatif.

Nous appellerons longueur de la tangente et de la noV' maie les parties de ces lignes comprises entre le point de contact et les points où elles coupent respectivement Taxe des X,

Il est facile d'obtenir l'expression de ces différentes lignes. Nous supposerons, pour plus de simplicité, les axes rectangulaires, et nous représenterons par T la tangente, par N la normale, par S^ la sous-tangente, et par S„ la sousnormale. Cela posé, on trouvera facilement les formules suivantes :

=^'\J'^w'^' N=ry