DU CALCUL DIFFÉRENTIEL

300. Nous avons résolu d'une manière générale le problème d'analyse quiapour objetlarecliercbedelalimiledu rapport de quantités infiniment petites , lorsque ces quantités sont les accroissements simultanés de variables liées par des équations données. Ce dernier cas est le plus ordinaire, et on y ramène en général les autres; cependant il peut en être autrement, et Ton en voit des exemples dans quelques-unes des questions géométriques que nous avons traitées: on se dirige alors suivant les circonstances.

Nous allons maintenant nous occuper du problème infinitésimal qui a pour objet la détermination des limites de sommes, et cberchersi Ton peut le ramener comme le précédent à des méthodes générales de calcul.

Remarquons d'abord que dans toutes les questions de ce genre que nous avons étudiées précédemment, les quantités infiniment petites que nous avons substituées aux éléments exacts de la grandeur à évaluer présentent ce caractère commun , que leur expression analytique est le produit d'une fonction d'une variable par l'accroisse- I. aj

4l8 LIVRE III.

ment infiniment petit que prend celle variable quand on passe d'un élément au suivant. Commençons par reconnaître ce point important.

301. Quand nous »vons voulu déterminer Taire d'une courbe plane, nous avons employé un premier mode de décomposition par des parallèles infiniment voisines; et au lieu des segmenls eux-mêtnes compris entre deux parallèles consécutives, nous avons considéré les parallélogrammes intérieurs ou extérieurs, qui en diffèrent d'une quantité infiniment pelite par rapport à ces segments. Pour avoir l'expression générale de ces parallélogrammes , prenons un axe des x perpendiculaire aux sécantes et un axe des y parallèle \ l'expression de la cordejqui est le côté fini du parallélogramme rectangle est une fonction de x donnée par la nature du contour. Si on la |représente par F (a:), et qu'on désigne par Ax la différence des x correspondants à deiix parallèles consécutives, r.aire cherchée sera la limite de la somme des valeurs que prendra F [x) Ax lorsque x prendra successivement toutes les valeurs , à partir d'une première qui est donnée, croissant par intervalles Aj:, égaux ou inégaux, mais indéfiniment décroissants, jusqu'à ce que l'on parvîeniue à la valeur de a? , qui termine la surface à évaluer.

Cette surface a donc pour expression analytique

lim. ^F{x)^x

dans le sens qui vient d'être développé.

Passons à un autre mode de décomposition des aires, et considérons-les comme décomposées par des droite» partant d'un même point et faisant entre elles des angles infiniment petits. La question revient alors à trouver la limite d'une somme de secteurs circulaires ayant pour rayons les rayons vecteurs de la courbe ,. et pour angle

au cehtre les différences des valeurs successives de Tangle du rayon vecteur avec l'axe fixe.

Désignant cet angle par S, et par r le rayon vecteur qui est une fonction donnée de 0 , il s'agira de calculer la valeur de

lim. \^- A9,ou,en représentant — par F (9) , la valeur de

iim.2F(ô)rfô;

on en revient donc encore au même problème d'analyse.

On reconnaîtra facilement qu'on est ramené à ce même problème pour la cubature des solides, la rectification des courbes, la quadrature des surfaces courbes, et les autres limites de sommes que nous avons considérées.

Occupons-nous donc de ce problème unique d'analyse auquel nous conduisent toutes ces recherches de limites de sommes.

Soit F [x] une fonction quelconque de x contenue entre deux limites x^ et X; et démontrons d'abord qu'il

existe une limite déterminée pour la somme ^^ F {x) Ax

lorsque l'on prend successivement pour x les valeurs depuis Xa jusqu'à X, croissant par intervalles égaux ou inégaux, désignés par A a:.

Il suffit pour cela de concevoir une courbe ayant pour

équation y = F [x) 5 V F [x) Ax sera la somme de rectangles intérieurs ou extérieurs que nous avons démontré avoir pour limite l'aire de la courbe entre les ordonnées correspondantes aux abscisses Xo , X. Il est donc certain

que, quelque soit F (x) , l'expression "V F(a:) Ax a une

limite déterminée, indépendante des grandeui^s relatives des accroissements infiniment petits.

Nous représenterons cette limite de la manière suivante :

¥{x)dx,

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et nous lui donnerons le nom d'intégrale de F (x) dx entre les limites jCo > X.

Identité du problème des limites de sommes ai^ec le problème inverse du calcul différentiel,

302. Remarquons maintenant que si , laissant or© constant, nous regardons X comme variable, l'intégrale , ou l'aire qui la représente , sera une fonction de cette valeur extrême X , que nous remplacerons par la lettre x. Or il est facilede voir que la dérivée de cette fonction sera F (x). Car si l'on augmente x de Ax^ l'aire augmentera d'une quantité dont le rapportavec le rectangle F (x) Ax a pour limite l'unité, quand Ax tend vers zéro ^ la limite du rapport de l'accroissement de l'aire ou de l'intégrale à l'accroissement de la variable x ne sera donc pas altérée en substituant F [x) Ax k l'accroissement exact de cette intégrale , et par conséquent sa dérivée sera F (j:).

D'où résulte cette proposition importante :

V intégrale j F (x) dx prise depuis une valeur con-

stante Xq jusqn^à une ^valeur indéterminée x est une fonction dont la dérit^ée, par rapport à x^ est F (x)^ ou dont la différentielle est F {x) dx.

Le problème qui a pour objet la détermination des limites de sommes d'infiniment petits dont on donne la forme générale F (x) dx^ est donc renfermé dans celui qui a pour objet de remonter de la dérivée, ou de la différentielle d'une fonction , à cette fonction. Ce dernier problème est l'inverse de celui du calcul des dérivées , ou des différentielles des fonctions^ et il est prouvé par ce c[u\i>récède qu il a toujours une solution, puisqu'il renferme celle du problème des limites de sommes, dont nous avons démontré Icxistcnee.

Il nous reste donc à chercher des règles générales pour remonter des dérivées aux fonctions.

303. Mais nous ferons d'abord une observation importante. Si Ton connaît une solution de cette question, c'est-à-dire une fonction ayant pour dérivée la fonction donnée, on en aura une plus générale en lui ajoutant une constante arbitraire, c'est-à-dire une quantité indépendante de la variable dont il s'agit •, car la dérivée ne sera pas changée par cette addition, puisque la dérivée d'une constante est nulle. Et il y a plus : il n'existe pas d'fiRitres solutions que celles que l'on obtient ainsi -, car on ne peut ajouter à la première fonction qu'une quantité qui ne change pas la dérivée , et , par conséquent , dont la dérivée soit nulle d'elle-même. Or nous avons vu (n^ 191) qu'il n'y avait qu'une quantité indépendante de la variable qui pût avoir sa dérivée nulle pour toute valeur de la variable. D'où résulte cette importante proportion :

Lorsque F on aura trouvée une fonction particulière de X dont la dérivée par rapport à x sera la fonction donnée, on aura la fonction la plus générale qui satisfasse à cette même condition , en ajoutant à la première une constante arbitraire.

Cette intégrale générale s'écrit de l'une des deux manières suivantes :

/ Y{x)dx^C, ou iY[x)dx.

304. Détermination de la constante, — Nous avons dit que la limite de la somme V F(a:) A:r , ou l'intégrale

F (x) dxj était une fonction de x ayant pour dérivée

F (a?). Soit (f (x) une fonction particulière trouvée par

un moyen quelconque, et satisfaisant à cette condition : la fonction la plus générale qui y satisfera sera , par ce qui précède,

c désignant une constante arbitraire. Donc / F (x) dx

est compris dans l'expression générale y (x) 4- c . et il ne s'agit plus que de fixer la valeur qu'il faut donner à l'indéterminée c pour obtenir l'intégrale cherchée, qui est complètement déterminée. Posons donc

F {x)dx=. <p{^) -f- c,

et donnons à x une valeur particulière quelconque ; les deux membres devant être toujours égaux, on en déduira la valeur de c, si celle du premier membre est connue. La plus simple de toutes les valeurs de x à choisir est x^ qui annule évidemment le premier membre, d'après sa signification même; et il en résultera

f («a?o) -h c= o, d'où cr=z — f(*o), ot par suite

F [x) djczzzff (x) — y («^o;*

Celle formule exprime que l'intégrale est l'accroissement que prend une fonction (f(x) ayant pour différentielle F (x) dx^ lorsque l'on passe de la valeur x^ à la valeur x de la variable. Et c'est ce qu'il est facile de reconnaître directement : en efïet, l'accroissement fini d'une fonction est égal à la somme çjes accroissements infiniment petits qu'elle prend successivement , quand on fait passer la variable de la première valeur à la dernière par degrés indéfiniment décroissants. Or cette somme est égale à la limite d(î celle des différentielles de la fonction, qui ne di fièrent des accroissements mêmes que de quan-

DÏÏS LIMitES D^ SOMMES. 4^^

tites infiniment petites par rapport à eux : elle est donc égale à la limite de ^l F (-^l ^- D'où il suit que pour connaître cette dernière , il suffît de chercher une fonction ayant pour différentielle F (x) dx^ ou pour dérivée F(x), et de prendre raccroissement qu'elle subit lorsqu'on fait passer la variable de x^ à x» Ce qui conduit à la formule précédente.

30S. Remâ.rqve. — Toutes les fois que l'on a à calculer une grandeur, on peut ramener le problème à la recherche d'une fonction, lors même que la grandeur serait bien déterminée , comme par exemple le volume d'une sphère dont le rayon serait un nombre particulier. Et nonseulement parce qu'on pourrait chercher l'expression générale d'une sphère dont le rayon est indéterminé , expression qui sera une fonction du rayon , dans laquelle on pourra ensuite donner à ce rayon la valeur particulière en question; mais en conservant toujours cette valeur particulière, on peut chercher l'expression générale d'une partie de la sphère , déterminée par un plan perpendiculaire à un certain diamètre et qui réponde à un segment arbitraire de ce diamètre : on a ainsi une fonction de ce segment variable , et on aura le volume de la sphère en supposant ce segment égal au diamètre même. Ayant ainsi ramené les problèmes à la recherche d'une fonction, si l'on ne voit pas de moyen facile de la déterminer ellemême , on peut chercher si sa dérivée serait plus facile à connaître. S'il en est ainsi , le problème est ramené à celui dont nous nous occupons , et qui a pour objet de remonter d'une dérivée à la fonction. C'est ainsi que l'on aurait pu prendre tous les problèmes des limites de sommes que nous avons étudiés sous un autre point de vue qui était plus nalurel, et devait se présenter le premier.