Contact des courbes et des surfaces, — Si , à

4o6 LIVRE II.

partir d'un point cotnmun à une courbe et à une surface, on mène des parallèles à l'axe des z^ on dira qu'il y a un contact de l'ordre n , lorsque la différence des valeurs correspondantes de z pour la courbe et la surface sera infiniment petite de Fofdre /i-f-i. On arrivera à des conditions du même genre que dans les cas précédents, et dans le détail desquelles nous n'entrerons pas.

293 . Déifeloppées . — Si Ton considère une quelconque des normales en un point d'une courbe à double courbure, elle sera tangente à la surface polaire. Le plan normal mené par un point de la courbe , infiniment voisin du premier, coupera cette normale en un point qui sera commun à deux normales infiniment voisines. En faisant pour la seconde normale ce qui a été fait pour la première , et continuant ainsi , on aura une suite indéfinie de normales à la courbe donnée , dont chacune rencontrera la suivanle, et dont les points de contact avec la surface polaire seront infiniment rapprochés les uns des aulres. Le point de concours des deux normales consécutives , se trouvant sur l'intersection des deux plans normaux , se rapproche indéfiniment de la surface polaire , qui est le lieu des limites des intersections des plans normaux consécutifs.

Cette suite de normales détermine donc un polygone dont les côtés sont infiniment petits, et dont la limite est une courbe tangente à toutes ces normales, et située sur la surface polaire : on l'appelle développée de la courbe donnée.

Comme on peut choisir une quelconque des normales à la courbe au point de départ, on obtiendra une infinité de développées aussi rapprochées que Ton voudra, et toutes seront sur la surface polaire , qui peut être considérée comme en étant le lieu géométrique. Belativemeni

à ces courbes que nous avons nommées développées , 'la première prend le nom de développante^ à cause d'une propriété analogue à celle que nous avons reconnue dans les courbes planes , et dont nous allons donner la démonstration.

Soient MN, M'N' {fig. gS) deux droites normales en M et M' à la courbe en question, N et N' leurs points de contact avec la développée; nous allons prouver que la différence des longueurs M'N' et MN est égale à Parc NN', à un infiniment petit près, du second ordre au moins. En effet , si aux points M et N on conçoit deux plans perpendiculaires à MN , la longueur M'P sera du second ordre puisque la courbe M'M est tangente au plan ; de plus, QP surpasse MN d'une quantité infiniment petite du second ordre. On peut donc prendre N'Q comme égale à la différence M'N' — MN, à une quantité près du second ordre. Mais la limite du rapport deN'Q à la corde NN' est Tunilé, puisque les angles Q et N du triangle rectiligne QNN' tendent vers des angles droits. Donc N'Q diffère de Tare N'N, tout au plus d'un infiniment petit du second ordre 5 donc, enfin, la différence de deux normales consécutives MN, M'N' est égale à l'arc NN', compris entre leurs points de contact avec la développée, plus ou moins une quantité infiniment petite par rapport à cet arc , et qui, par conséquent, peut être négligée sans qu'il en résulte aucune erreur dans le^limîtes des rapports ou des sommes.

Il résulte de là que si en deux points quelconques de la développée on mène des tangentes terminées à la développante, la différence de leurs longueurs est rigoureusement égale à l'arc compris entre les points de contact.

Et Ton voit par là que la dilîércnce entre M'N' — MN

4o8 LIVRE II.

et -l'arc NN', qui devait être au moins du second ordre, était réellement égale à zéro.

Maintenant supposons un fil qui coïncide avec la développée à partir d'un point quelconque, où il s'en sépare tangentiellement et se prolonge jusqu'à la développante. Si on le déroule en le laissant toujours tangent à la développée, il prendra successivement la position des diverses normales qui sont tangentes à cette courbe 5 et ces normales croissant précisément de la même longueur que le fil qui se déroule, ce sera toujours le même point de ce fil qui se trouvera sur la développante. Cette courbe sera donc décrite par l'extrémité du fil pris dans la première position. Cest cette propriété qui a fait donner aux deux courbes , l'une par rapport à l'autre , les noms de déi^eloppée et déy^eloppante,

294, Le lieu des centres des cercles osculateurs d'une courbe à double courbure n'est pas une développée de cette courbe. En effet, deux plans osculateurs consécutifs se coupent suivant une droite qui a pour limite la tangente, et ils forment entre eux un angle infiniment petit du premier ordre. La distance du centre de courbure contenu dans le premier, au second plan, est donc un infiniment petit du premier ordre; or sa distance à la normale contenue dans ce second plan est plus grande que sa distance au plan : donc cette normale n'est pas tangente à la courbe qui passe par cè^ deux centres, puisqu'il faudrait pour cela que cette distance fût un infiniment, petit d'un ordre supérieur au premier. Le lieu des centres de couiv bure n'est donc pas une des développées, lorsque la courbe que Ton considère n'est pas plane.

295. Les développées d'une courbe à double courbure jouissent de la propriété remarquable de se réduire à des

CALCUL D£S DERIVEES ET DES DIFFERENTIELLES, ETC. 4^9

lignes droites quand on développe la surface polaire sur un plan.

Pour le démontrer, nous considérerons un polygone infinitésimal inscrit dans la courbe donnée, et ayant ses côtés égaux; ce qui revient à prendre l'arc pour variable indépendante. Sur les milieux de ces côtés nous concevrons des plans perpendiculaires , dont les intersections formeront les arêtes de la surface développable qui , à la limite, devient la surface polaire.

Or, si du point milieu d'un côté quelconque on trace une droite dans le plan normal, elle coupera l'arête commune à ce plan et au suivant, en un point qui, joint au milieu du côté suivant, donnera une normale à ce côté \ et il est facile de voir que ces deux normales font des angles égaux avec l'arête que nous avons considérée.

Cette seconde normale prolongée coupera l'arête commune au second plan normal et au troisième, en un point qui, joint au milieu du troisième côté, formera une normale à ce côté, faisant avec la seconde arête le même angle que la normale précédente 5 et ainsi de suite indéfiniment.

Maintenant, si l'on développe sur un plan la surface qui renferme toutes ces arêtes, deux normales consécutives se rabattront Tune sur l'autre, puisqu'elles font le même angle avec l'arête sur laquelle elles se coupent 5 et le polygone infinitésimal , formé par les intersections de ces normales successives , aura tous ses côtés sur une même droite. Ce résultat ayant lieu quelle que soit la petitesse des côtés de ce polygone, aura lieu pour la courbe limite, qui est une quelconque des développées de la courbe proposée.

Donc, dans le rabattement de la surface polaire sur un

4lO LIVRE H.

plan , toutes les développées de la courbe deviennent des lignes droites.

296. Dans le développement de la surface polaire , les côtés infiniment petits qui composent la développée ne changeant pas de longueur, un arc quelconque de cette courbe a la même longueur avant ou après le développement ; et il en serait de même de toute autre ligne tracée sur cette surface. Donc le plus court chemin d'unpoiut à un autre sur la surface polaire est l'arc de la développée qui passe par ces deux points, puisque, devenant une ligne droite, il est plus (5ourt que tout autre après une transformation qui n'a pas changé les longueurs.

On peut encore remarquer que si Ton suppose un fil appliqué sur le polygone formé, par les normales successives que nous venons de considérer, et prolongé suivant un quelconque des côtés jusqu'au milieu du côté correspondant du premier polygone, inscrit dans la courbe donnée, et qu'ensuite on développe ce fil de manière à ce qu'il soit successivement dans le prolongement de chacun des côtés du polygone sur lequel il est appliqué, son extrémité passera par tous les milieux des côtés de l'autre polygone. Donc, si l'on passe aux limites des polygones, on retrouvera la propriété démontrée précédemment par des considérations différentes.

297. Equations des déi^eloppées. — Si Ton désigne par x', y'^ z' les coordonnées d'un point quelconque de la courbe proposée, l'équation de la surface polaire s'obtient en éliminant x'^ y, z' entre .les deux équations de la courbe et les deux suivantes :

(.r — x') dx' 4- (r — r')dy' + (z — z') dz' =ro,

CALCUL DES DKRIVKES ET DES DIFFEREITTIELLES , ETC. ^\ i

Si maintenant on considère un quelconque des points dont les coordonnées x ^ y^ z satisfont à ces équations, on passera de ce point au point voisin de la développée si la droite qui joint ces deux points est dans le prolongement de celle qui joint les points {x\ y\ z'), (-^S JK» ^) ? ^^ 4^^ aura lieu si les différentielles dXj dy, dz sont proportionnelles aux différences x — x\y — y'^ z — 2'. On tirerait de là les deux équations

dx X — x'

dy y — Y '

dz z — z'

Mais une seule sera nécessaire, parce que les précédentes expriment que les points [x^ y^ z) ne cessent pas d'être sur la surface polaire. Une quelconque de ces deux équations étant jointe aux deux précédentes, et à celles de la courbe donnée , on aura cinq équations entre lesquelles on éliminera x\^y\ z', et l'on obtiendra deux équations différentielles qui conviendront à Tune quelconque des développées.

Application des théories précédentes à Vhélice,

298. Si l'on désigne par a le rayon de la base du cylindre , et par m la tangente de l'inclinaison de l'hélice sur le plan de cette base, les équations des trois projections de cette courbe seront

X ^=z n ros - ï y =:^ tt sin — , ^^ -4- r ' = « '. mn " t}ia

L'axe des x passe par le point où l'hélice perce le plan de la base-, et cette courbe , en s élevant , tourne de l'axe des X positifs vers Taxe Aesy positifs.

*4l2 LIVRE II.

Ces équations différentiées donnent

dx=. sin — rtg, o)' = — ces — az, rw zir ^ rfz,

w /wfl /w ma m

(Px = ces — dz^^ dW = sin — r/z', rf'f = o.

iri^a ma m}a ma

L'équation du plan osculateur devient alors, en prenant z pour variable indépendante , •

z — z= — mx sm h my cos — •

Ce plan fait avec le plan de la base un angle dont le cosinus est , et la tangente ni. Il est le même que celui

de rhélice avec le même plan.

L*équation du plan normal sera

miz — z') = a? sin y cos

^ ma " ma

L'angle de contingence , dont l'expression générale est

devient, dans le cas actuel,

am y I -f- w^

L'angle de deux plans osculateurs consécutifs est

dz — 1—^:=z= OU mxt, a s/ ï -h m""

Le rayon du cercle osculateur, dont la valeur générale

ds est R = — ? sera égal à a (i H- m* ) 5 sa grandeur est donc

constante et surpasse de am^ le rayon de la base. Pour connaître sa direction , il faut chercher rintersection du plan normal et du plan osculateur. Les équations combinées donnent

z:= z', y "= X tang

Donc le rayon de courbure est constamment parallèle au plan de la base, et rencontre Taxe du cylindre. Le centre de courbure se meut donc sur un cylindre ayant même axe que le premier, et pour base un cercle dont le rayon est am'. Il décrit donc sur ce cylindre une hélice dont le pas est le même que celui de l'hélice proposée.

On trouvera le même résiJtat en calculant les coordonnées du centre de courbure. Leurs valeurs sont

z=:z\ r == — û/w' sin — , x =: — am"^ ces — ? ma ma

et Ton en déduit immédiatement les conséquences précédentes.

Déterminons maintenant les équations d'une arête quelconque de la surface polaire , c'est-à-dire de Tintersection des deux plans normaux infiniment voisins. Ces équations sont les suivantes :

m[z — z')=z X sm j ces — 5

^ ' ma ma

X ces h r sm — = — am^,

ma ma

Cette droite est nécessairement perpendiculaire au plan osculateur, et on le vérifiera facilement au moyen de ses

^l4 LIVRE II.

équations. Comme d'ailleurs elle passe par le centre de courbure et qu'elle est perpendiculaire au rayon de courbure, elle est tangente au cylindre sur lequel se meut l'extrérailé de ce rayon , et dont la base a pour rayon am*. De plus , il est facile de reconnaître qu'elle est tangente à l'hélice décrite par cette extrémité. En effet, puisqu'elle est perpendiculaire au plan osculateur, elle fait avec le

plan de la base un angle dont la tangente est — : or l'hélice qui est le lieu des centres Je courbure , et dont nous venons de donner les équations , est tracée sur le cylindre dont le rayon est am', et fait avec sa base un angle dont

la tangente est — • Donc l'arête de la surface polaire est

tangente à cette hélice, et la surface polaire est l'hélîçoïde développable dont cette hélice est l'arête de rebroussement.

Mais on sait que la sous-tangente d'une hélice sur le plan de sa base est égale à l'arc de cette base, depuis l'origine de l'hélice jusqu'à la projection du point de contact. Doncla trace de la surface polaire sur le plan {xy) est la développante de la base du cylindre dont le rayon est a/»*.

299. Si l'on veut avoir l'équation de la surface polaire, il faut éliminer z' entre les deux équations

/// ( 2 — z ] = j: sm — • r cas — ?

X cos \- y sm — = — anx^.

Ajoutant les carrés des membres de ces deux équations, on obtient

»[(z — 2')*-+- (Oni'\ = X' -I- y'^'y

CALCUL Ï)ES DÉRIVÉES ET DES DIFFERETÎTIELLES , ETC. ^iS

substituant dans la seconde, on trouve l'équation cherchée, qui est

-h/sin ( —zç,\r "|"-f ~ I ) z=^ — am\ La trace de cette surface sur le plan (o^^) a pour équation

•^cosi/ — ^ I ZtZjsmi/ T-—— i^—ani'

Cette courbe est la développante du cercle dont le rayon est àrn?^ et elle prend naissance au point de ce cercle situé sur Taxe des or , et du côté des x négatifs 5 ce qui s'accorde avec une des propositions précédemment démontrées.

Une hélice pouvant avoir ses deux courbures égales à celle d'une courbe quelconque en un de ses points , son osculation sera d'un ordre plus élevé que celle du cercle \ elle donnerait donc une idée plus exacte de la courbe fi laquelle on la copiparerait. Les deux constantes m et a se détermineraient en égalant ses deux courbures à celles de la courbe donnée , au point considéré.