Cela posé, revenons à l'intégration de la fonction
La décomposition de la fraction jz — :i d'après les procédés qui viennent d'être exposés , conduira à Tintégralion d'expressions ayant respectivement Tune des formes suivantes :
Adx Adx (Ax'hB)dx (A.x-h'B)dx
x — a^ (x— «)»' (or — a)' -H g»' [(a: a)'+ 6»]»'
Examinons-les successivement.
] ^. La première donne immédiatement
Adx
=1 Al(jc — ât)4-C.
2". On trouvera, pour la seconde, Adx A
3°. Pour la troisième, on la décomposera comme il suit :
(Aj:-hB)c?x A{x'-'(f.)dx (Aa4-B)rfj:
La première de ces deux nouvelles fractions ayant pour numérateur le produit de A par la moitié de la différentielle du dénominateur, est la différentielle de
Pour intégrer la seconde, on posera
X — a = 6 z , d'où dx =: ^dz,
et elle devient
A a + B dz
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ce qui est la différentielle de
Aa + B
— arc tang z,
Donc
/(Ax^h)dx A, , ., ^. Aa-4-B ^ x-a ,
4°. Quant à la dernière expression
{Ax + B)rfj?
on la décomposera ainsi :
A {x-^a)da: (Aa -hB)dx
La première partie est la différentielle de
2(11— i)[(jr — a)*-h6»]"
T. . , , j . (Aa-+-B)^.r:
Pour intégrer la seconde partie j. ^ v, fiai„> on posera
X — a = 6 z , et elle deviendra — ^; — -— • 7— r î tout
sera donc réduit à intégrer ^-^ r 5 or on a identi(jue-
ment
donc
/<fe r dz r z'dz
(c'-hi)""" j (3'+i)«"-' J {z'-hif
Mais l'intégration par parties donnera
/' z^ dz z \ Ç dz
substituant dans la précédente , il vient
/' ds __ z 2w— 3 Ç dt^ («'4- i)" "'(■in 2)(«*-Hi)'— '*" 2 11— 2 J («'-hi)«-*
L'intégration étant ramenée à une autre semblable , mais dans laquelle l'exposant de -2* H- i est diminué d'une unité , on parviendra , par une suite de réductions
analogues, à Tintégrale de -^ — 9 qui est arc tang £.
On obtiendra ainsi la formule suivante :
(2n-3)(3/i — 5)...3.i H- ) f^= T-:^ ;— arc tang « -+- 1 .
Si Ton multiplie cette expression par ^^,, > et quon
remplace -s par — - — » on aura l'intégrale indéfinie de
(Aa-hB)fi:g [(a: — a)' 4-6^]"^
on connaîtra , par conséquent , celle de la fonction proposée
Ainsi , au moyen des méthodes qui viennent d'être exposées, on pourra intégrer toute expression algébrique rationnelle.
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