Supposons maintenant que l'équation
ait à la fois des racines inégales et des racines égales; soit a l'une quelconque de ces dernières , et
le polynôme y [x) n'admettant plus le facteur (x — «);
UES LtMITKS D£ SOMMES. 4^^
posons
ou^ en multipliant pary{:r),
f2) ( F(4:)=:Aç;(.r)-+-A.('-«)?(*)H-A,(x-fl)«ç>(*)-^... ^M . -H;A„..(T^a)«-y(x)-hP(x~a)».
Le nombre des coefficients du polygone P, ajouté au nombre des constantes A, Aj,..., A^i, est égal au nombre des termes de cette équation, et il s'agît de les déterminer de manière à la rendre identique. Si Ton y fait j: = a, on obtient
F(«)=Ay(«),
d'où l'on tirera la valeur de A. DîfTérentiantréquation (2) et faisant ensuite .r = a, il vient
r(û) = A(p'(fl)-+-A,(p(«).
Différentiant successivement la même équation et faisant ensuite .r = a, on introduira à chaque fois un nouveau coefficient, et Ion pourra ainsi , au moyen de m — 1 différentiations, déterminer A, Ai,..., A,„i. Les termes provenant de P (.r — a)"* disparaîtront tous par l'hypothèse
Cherchons la formule générale qui représente toutes ces équations successives, et, pour cela, diiTérenlions p fois l'équation (2).
Pour savoir ce qui reste de chacun des termes quand on fera a: = a après la différentîalion , considérons le terme général A„ (x — a)" (p (x). On trouvera sa dérivée de l'ordre p au moyen de la formule connue
dx9 ^ ' 1.2
434 MVRl. III.
dans laquelle les exposants de Q el R sont des indices de dîfférentîatîon. On aura ainsi
(3) l -h^rtfn-. 1 )...(« — ;? -H 2)(j — «)«-?+' ç>'(x)
Si p est plus grand que n , les premiers termes auront des exposants négatifs, et on devra les omettre parce que leurs coefficients seront zéro 5 cela tient à ce que quand [x — a) sera affecté de Texposani zéro, il donnera zéro pour dérivée.
Voyons maintenant ce que devient le second membre de l'équation (3) quand on y fait x = a. Si Ton a. p <^n^ il se réduit à zéro. Si l'on a ^ = n, il se réduit à son premier terme n(n — i). . . 2.1 (f (a). Enfin, si l'on a ^ ^ « , il faudra se borner à prendre le terme qui en â p — n avant lui , parce qu'il aura zéro pour exposant-, les précédents auraient donc un exposant négatif et doivent être omis , comme nous l'avons dit-, et les suivants deviendront nuls quand on fera x = a.he second membre de l'équation ( 3 ) se réduit donc alors à
Donc l'équation (2), différentiée p fois en supposant p<^m^ donnera, pour a: = a, en observant qu*il faut s'arrêter k n=p^
I F''(«)=A9f'(fl)-^/7A,9/'-'(a)4-;;(;;-i)A,9F-«(a)-f-.'.. (») {i„^ i)...(;,„^,)A^p/'-«(fl)-+-...H-;,(;;— l).,.2.l A o(fl)-
Telle est Téquation générale qui , en donnant à p toutes les valeurs entières depuis o jusqu'à m — i inclusivement.
DtS LIMITES DK SOMMES. 4^5
fournira m équations, d'où l'on déduira successivement chacune des quantités A, A,,..., A,„|. Ces équations sont les suivantes :
F(a) =Aç,(a), F(a)=Ay,'(a) -f-A.^(>), F''(a) = A/(a) -f-2A,9'(«)-i-2.iA,jj(fl), (5)\ F'''(«) = A/'(a)4-3A,^"(«)-t-3.2A,/(«)-4-3.2.iA,9(fl)
F*»-' (fl)=A9''»— (a)-H(m~i)A,^'«-'(û)-t-(TO— i)(m— 2)A,p«-X//)h-... -l-(/n- i)(m - 2)...2.iA^jÇi(/i).
La première équation donne la valeur de A, et ce sera la vseule inconnue si m = 15 la seconde fait ensuite connaître immédiatement Ai, la troisième Aj, et ainsi de suite jusqu'à A„,i : et il n'y aura jamais impossibilité, parce que le coefficient du dernier terme n'étant jamais zéro, on trouvera toujours une valeur finie pour chaque inconnue.
Il reste à prouver que réciproquement, si l'on prend pour A, A,,..., A,„i, les valeurs ainsi déterminées , on aura satisfait à l'identité (2). En effet, ces valeurs sont tirées des équations (5), qui expriment que l'hypothèse X =.a annule le polynôme suivant et ses m — i premières dérivées,
Y{x) — A<p (x) — A, (a! — rt)<ï>(x)— Aj(x — a)»(p(x) . . .
— A«, (or — a ;'»--• y (or).
Donc, d'après un théorème connu, ce polynôme est divisible par [x — a)"* et peut être mis sous la forme P (a: — a)"*, Pétant un polynôme entier qu'il sera facile de connaître. Donc les identités (2) et (i) seront satisfaites.
Cela posé, on pourra traiter d'une manière semblable
la fraction — - — : relativement à une autre racine multiple,
si elle en renferme, et coiitînuer ainsi jusqu'à la dernière.
La fraction ^) ! sera donc décomposée en fractions dont
les numérateurs seront indépendants de.r, et dont les dénominateurs ne renfermeront respectivement qu'un seul facteur premier de f[x)^ élevé à une puissance égale ou inférieure au degré de multiplicité de ce facteur.
De plus , il est facile de reconnaître que cette décomposition ne peut se faire que d'une seule manière; car si les constantes relatives à la racine a , par exemple , étaient susceptibles de plusieurs valeurs , on devrait les trouver toutes , soit que le calcul fût fait d'abord pour cette racine, ou pour toute autre. Or nous avons reconnu que les constantes A, Aj,..., A„,i ne pouvaient avoir chacune plus d'une valeur. Donc il n'est possible de décomposer la fraction que d'une seule manière en fractions simples de la forme proposée.
On conclut de là que pour les racines autres que la première a, il ne sera pas nécessaire de recommencer les calculs sur le polynôme P et les suivants. Il suffira de changer dans les équations (5) les quantités m, a et 9 (a:), en celles qui se rapporteront à toute autre racine de l'équationy(a:) = o^ car c'est ce que Ton obtiendrait en commençant successivement par chacune d'elles.
344. Les calculs précédents exigent que l'on forme le polynôme ç (x) qui est lé quotient de la division def(x) par [x — a)"*. On peut se dispenser de faire cette opération, et exprimer y (a) , (p' (a),..., y'"~* (a), au moyen des dérivées de la fonction/* (a:) elle-même : on les substituera ensuite dans l'équation générale (4) 5 de laquelle se tirent toutes les équations (5). Or, si l'on différentie les deux membres de Téqualion
ils se réduiront à zéroparrhypotbèsea: = a, si le uombre des différentialions est inférieur à m. Supposons-le donc égal kfn'+-p^p étant un nombre entier et positif quelconque.
Il est inutile de répéter ici ce qui a été dit au sujet de l'équation (3 ) , et l'on aura, en faisant x = a dans les dérivées de Tordre ni-^p^
f'»+P(a):=z {m +p){m -h/? — i). . .(>» H-i) .p/' («t); d'où
"^ ^^''^ "^ [m^p){m^p--i),,.[p~^-i) L'équation (4) devient, par là ,
{m'^p){m-\rp-\)...{p'^ \) *(w4-;7- i)...(;i-M)
'(wi-t-/'— 2)...(^H-i) * '^ m( m— !)...(;> -i-i)
Si l'on donne à p toutes les valeurs depuis o jusqu'à m — I , ou aura , pour déterminer A, A, , . . . , A,„< , les m équations suivantes :
F(a)=A ■L^\JLl
(wîH-2)...3 '(m-i-i)...3 *TO...3
F»-(«) = a/"-'.('') ^A, ■^•°-''('') H-.4-A„ /JlifLl {'2m— \)... m (2 m— 2j...m «-' m
315. Les calculs précédents peuvent s'appliquer aux racines imaginaires égales, aussi bien qu'aux racines réelles. Mais les réductions entre les termes homologues relatifs aux racines conjuguées ne donnent pas immédia-
tement des résultats aussi simples que le mode de décomposition que nous allons faire connaître.
Soient a zt 0 y/ — i deux racines multiples de Tordre m de réquatîony(.r) = o, de sorte que Ton ait
On posera
F(a:) Ajt-hB A.x + H, A„,.r-h B^, p
/(r)""[(ar-a)«-4-6«]'»"^[(x-a)*-f-6»]-"'*"-"^(x-a)*H-6»'^î;iTy
ou
F(r)=(AxH-B)p(ar)-4-(A,x-hB,)[(x-a)*4-6»]9?(x)-h...
-+-(A^,^-f-B„,)[(r-a)«-h6']— ?(x)^-P[(x-a)*^-g•^■ Le nombre des coefficients indéterminés est égal au nombre des termes qu'il faut égaler de part et d'autre , en ayant égard à ceux du polynôme P. Mais nous nous proposons ici de déterminer seulement A, B, Ai, Bi,..., A„,i, B„i. Or, si Ton fait a: = adbj3v — i dans la dernière équation et dans ses dérivées. successives, chacune des équations ainsi obtenues se partagera en deux autres , à cause delà quantité imaginaire \/ — i ; et, de plus, il s'introduira dans chaque nouvelle équation deux nouveaux coefficients inconnus. Ainsi, la première déterminera A et B, la seconde Aj et Bi, et la /7i'*'"% A^t et B,„i.
Ces mêmes formules s'appliqueraient aux autres racines imaginaires égales, en chani^eant convenablement
Ou pourrait encore, comme dans le cas des racines réelles égales , se dispenser de former le quotient (p (r), et faire dépendre sa valeur et celle de ses dérivées , pour X = a±ës/ — I , des valeurs que prennent, dans la même hypothèse, les dérivées de f(x)i mais les formules sonl moins simples que dans le ras précédent,
