Considérons maintenant

sja -\- bx — x' et posons

^a -^ bx — x^ = sfa -{- xzy d'où

sla -\- xz 14-2'

donc

^ a-\-hx — x' ^ ^ ^

=C— 2arc tang2=C— aarctang

Si les racines du trinôme a -{- bx — x* sont réelles, on peut employer la troisième transformation , et poser

ya4- bx — x^ z=z [x — a)^, en supposant

x' — bx — a zzi[x — a) (^ — ê).

On aura d'abord

ê — jc = ( j: — a ) 2% — ^x ( I 4- 2"' ) = 2 (x — (i)zdz ,

c^x idz

donc

/ / , =• = C — 2 arc tang 4 /

n . 4 /— 2 j: -4- ô + s/b' + An = C — 2 arc lang i / — — ~*

= c — arc tang — \ v- ' ^'"^ = C — arc cos - ^^

Dans le cas particulier où é = o , a = i , cette dernière formule donne

r dx

\ -p=:= = C — arccosj:=C'H-arcsinjr.

L'autre transformation donnerait, dans ce cas.

/' dx ^ . ^I — ^* — 1 n - ^ —:=:::^ = C - 2 arc tang = C ^ arc tang , = C h- arc sii yj\—x* X y\ — x^

résultat identique au précédent.

321. On a souvent à intégrer des expressions de la forme suivante :

{ai.X'\-^)dx \la-\- bx — x^

On introduit alors au numérateur la différentielle de la quantité soumise au radical , et Ton décompose celte différentielle dans les deux suivantes :

aix \dx {^^ — \dx

v/ûf 4- ôor — x'^ ^a-^bx-— x*

I)KS LIMITES 1)F. SOMMKS.

La preoiièie a pour intégrale — a y^a -h hx — a:', et la seconde rentre daûs le cas précédent.

dx