Si au lieu de différentier / F ( z, x) Jz

on avait

à l'intégrer par rapport à x entre les limites x^^ X-, z» et Z étant supposées indépendantes de x, on observerait, diaprés ce qui précède, que, quel que soit z,

Jnx r*z nz nx

] dx 1 Y{z,x)dz et j ^^ j F(z,x)flte

ont la même dérivée par rapport à ;r ; et comme elles deviennent nulles toutes deux pour a: = a:©, elles sont aussi égales quel que soit x. L'ordre des deux opérations est donc encore indifférent. Tout cela suppose que la fonction F (z, x) ne devient ni infinie ni indéterminée, pour aucune valeur de ;r et z comprise entre les limites : si cela arrivait, il faudrait un examen particulier dont nous nous occuperons tout à l'heure.

361 . Si les deux intégrales étaient indéfinies , la première serait

en l'intégrant, on trouverait

Jr%X /»« /%X

I dx \ ¥(z,x)dz'^f(z)-hl f{je)dx,

ce qu'on peut mettre sous la forme

et ron trouverait un résultat identique en intégrant en ordre inverse^ les fonctions J etft pouvant toujours être regardées comme les mêmes dans les deux cas , puisqu'elles sont entièrement arbitraires.

362. Intégrales définies singulières, — M. Cauchy a désigné sous ce nom , des intégrales prises entre des limites qui se rapprochent indéfiniment d'une valeur particulière de la variable, qui rend la fonction infinie.

Par exemple, si l'on suppose F (a) infinie, l'intégrale

F (x) dx sera une intégrale définie singulière, si

s tend vers zéro, // étant un nombre fini quelconque. On peut mettre la fonction différentielle sous la forme

[x — a) F [x) -, et si l'on désigne par Ç une valeur

moyenne entre a — e et a — f/e , Tinlégrale sera égale à

X^"!^' dx ^, ou (?~«)F(Ç)lf*.

Si (I — a) F ($) a une limite différente de zéro quand g tend vers a , ^intégrale définie singulière aura une valeur déterminée en même temps que (x. Nous allons voir à quoi cette considération peut être utile dans la détermination des intégrales définies.

363. Cas oîi la fonction sous le signe f passe par r infini, — Si une valeur a: = « rend ¥ [x] infinie , et se

trouve comprise dans les limites de l'intégrale / F [x] dxy

48S LIYEE III.

365. On peut encore reconnaître si une intégrale est finie, lorsque sa dérivée devient infinie pour une valeur particulière de x, en la comparant à une autre plus simple, pour laquelle il n'y ait pas d'incertitude, et telle que les deux dérivées aient un rapport fini pour cette valeur particulière : les deux intégrales seront en même

\ — Qi

C' dx

I — seront dans ce cas. Le rapport des dérivées ,

e* + a:", devient i pour x = o : or la seconde est finie si

m <^ I , et infinie si m = i , ou m > i ^ il en est donc de

même de la première.

366. application des principes précédents à la re^ cherche ^intégrales définies, — En partant d'intégrales définies connues , et les difierentiant ou intégrant par rapporta une constante, on obtient la valeur de nouvelles intégrales.

Ainsi

Jr"^ dx rr -^ difFérentiant n fois par rapport à «, on obtient

dx =. ^ ^ -,

d'où

dx 1.3. 5. ..(art — i)

{x^-^-ay-^^ 2.4.6... un ^