On peut changer l'intégrale I F (x) dx dans la

suivante :

dont les limites sont les mêmes. En effet, les éléments qui les composent l'une et l'autre sont les mêmes en ordre inverse. En partant de celte remarque, qui est quelquefois utile, on peut, par une suite d'intégrations par parties, obtenir très- simplement la série de Taylor, comme on va le voir.

357. Série de Taylor. — Soit F (j:) une fonction quelconque qui reste continue , ainsi que ses n premières dérivées, entre les limités x ei x -{- h. On a évidemment

et, d'après ce qui vient d'être dit,

X est constant dans cette intégration, z seul varie.

Intégrant par parties cette dernière expression et celles qui s'en déduisent, il vient

= 'f(xh-A-5)h-— F''(.rH-A-«)-+-...H ^ rF«-'(x-+-&^r)

F''(a:H-A —z)dg.

Si Ton prend les intégrales entre les limites o et /i, il

f;iudra faire successivement ^ = A, z = o dans les termes en dehors du signe /, puis retrancher le dernier résultat du premier, ce qui donnera

f ¥'{x-hh-z)dg=:hr{x)-^—¥''{x)-h. . .H ^!l! . F"-' (x)

: F-Cx-HA— «)dr.

Mais

donc

F(^-+-/0 — F(j?)= r Y'[x'^h-^z)dz\

F(x4-A) = F;(x)-f.AF(x)-f- — F"(x)-H. . .-h ^^ F-- (x)

Lorsque le terme qui renferme l'intégrale définie tend vers zéro à mesure que n augmente, la série converge vers F (j? 4- A) , et devient celle que Taylor a fait connaître.

On peut donner une autre forme au terme qui exprime l'erreur commise, en s' arrêtant au terme de rang n. En effet , l'intégrale définie est égale à la somme des facteurs z"""* rf-2, multipliée par une valeur moyenne entre la plus petite et la plus grande de celles que prend F" (x -I- A — z) quand z passe de o à A; et comme cette fonction est supposée continue dans cet intervalle, cette moyenne est l'une des valeurs que prend F" (x -h A — «), pour une certaine valeur de z comprise entre o et A : d'où résulte aussi pour A — z une valeur comprise entre o et A, que nous représenterons par 6 A. Le terme qui complète le développement devient donc

jM^+iAL /•*,»-. rf., ou il-F»(x + ô;i).

C'est sous cette forme que nous Favons présentée dans le Calcul diiFérentiel : 6 est une fonction inconnue de t, et Ton sait seulement qu'elle a une valeur positive plus petite que l'unité.

En prenant la plus petite et la plus grande des valeurs de F" (x) dans l'intervalle de x kx -h h, on aura deux limites entre lesquelles sera comprise l'erreur commise en s'arrêtant après le w'*'"* terme. L'intégrale définie donne la valeur exacte de cette erreur ; mais elle présente la difficulté de l'intégration , et l'on ne peut généralement se proposer que de la renfermer entre deux limites connues.

Differentiation et intégration sous le signe f,

358, Nous avons fait connaître, au commencement de ce Cours , les règles pour difl'érentier les fonctions explicites, ainsi que celles qui sont liées entre elles et avec la variable principale par des équations dont les deux membres sont des fonctions explicites. Nous allons considérer une autre espèce de fonction et donner le moyen de la différentier.

Soit la fonction a = f ¥ (z^ x) dz que l'on se pro-

pose de différentier par rapport à x\ les limites Zç^^X^ pouvant être des fonctions quelconques de x.

On aura, en considérant cette intégrale comme une fonction composée de ^o ^ Z , j: , qui sont toutes des fonctions de X ,

du /(iu\dzo /^"\ ( ^"^

di'~ \dr,)d^'^\iâ.) '^ \di

Or on a d'abord

du du

Quant au troisième terme —, qui est relatif à la supposition de Za et Z constants, il est la limite de

f ¥(z,x + à)dZ'^ I F(z,x).(iz ¥{z, jT^/i) — F(z, x)

ou de

-j^ az,

et a pour valeur

Donc

)* = F(Z,.)^-FK,x)^

On parviendrait très-simplement à la même formule, en considérant F intégrale définie comme représentant l'aire d'une courbe.

Si les limites sont constantes, c'est-à-dire indépendantes de ^, on a

on voit qu'alors les deux opérations de difïérentiation et d'intégration peuvent se faire dans un ordre quelconque.

359. Si la fonction de x était une intégrale indéfinie par rapport à ^, on la mettrait sous la forme

'^= r 'E[z,x)dz^C,

C étant une fonction quelconque de x \ d'où

dx J^ dx dx

On peut donc faire, dans un ordre quelconque, les deux opérations sur F (z, a:) , pourvu que les constantes relatives aux deux intégrations soient liées par la condition, que la seconde soit la dérivée de la première par rapport à ;r.