CHAPITRE IX

autres procédés pour la détermination d'intégrales définies.

371. On ramène quelquefois une intégrale définie simple à une intégrale définie double , parce que l'indépendance des deux variables peut conduire à des simplifications. Soit par exemple / o''^' dx. Elle est identique

avec \ e^-^ dy. Si on les multiplie, on aura le carré de l'expression cherchée. Or on peut considérer le produit

r^""^ dx j e"-^' djr^ comme obtenu en multipliant

chaque élément e~' dx de la première par la seconde; et 5 dans cette dernière , on peut poser j = xt^ x restant constamment le même que dans l'élément e"'^ dx. Rien ne sera changé par là , quoique x s'introduise dans

xe""''*' dt. Si 1 on

pouvait former cette dernière expression en t, en la multipliant par e""*' dxj on aurait un élément qui , intégré entre o et oo , donnerait identiquement le produit des deux intégrales. Mais dans cette intégration, par rapport à t, le facteur constant e"""^ dx peut être introduit sous le signe /, et Ton voit qu'on aura à intégrer l'expression

c~' xe^'*' dxdty ou xc^^i^^^ ^ dxdt^

4g2 lilYUE III.

d'abord par rapport à t, puis par rapport à x^ ces deux variables étant indépendantes.

Or on sait que ces deux intégrations peuvent se faire dans un ordre inverse , sans que le résultat soit changé \ et, de cette manière, l'opération pourra s'eflfectuer.

En effet,

Donc

J/»oo r- r*-Jo

' e-*'ct3F=— 5 OU / e~** <Yx = i/tt ;

d'où, changeant x en wx,

372. Cette intégrale importante peut encore s'obtenir par le procédé suivant qui se trouve dans la Mécanique de Poisson.

I I e— ^^—y^ dydx

re-

présente le quart du volume du solide compris entre le plan XY et la surface dont Téquation est z = e— **— -y*, qui est engendrée par la révolution de la courbe dont l'équation est -z = e — ^' autour de l'axe des z. Or, si l'on décompose ce volume au moyen de surfaces cylindriques infinitnent voisines, et de révolution autour de l'axe des z , l'expression du volume compris entre les deux surfaces dont les rayons sont x, et x-hdx, sera m: xe-" ^* dx -^ son intégrale est — Tre^**, et l'on aura le volume entier du solide , en la prenant entre les limites o et oo , ce qui donne tt. Si l'on en prend le quart , puis la racine carrée,

OU aura

et, par suite,

J — oo

373. Le passage des quantités réelles aux quantités imaginaires 9 fait avec la rigueur convenable, peut encore conduire à la détermination de nouvelles intégrales^ En effet, on tire de la formule précédente, en changeant x en

XOO /» 00

d'où

r°° e-** (4?^«' H- <?-*«'}rfx = <?«V^''

Posons a=^a ^ — i ^ il vient , en observant que

d'où

ou , en changeant x en mj: et am en n ,

La substitution de a sj — i à a n'a pas altéré Téquation ,

cos 2 nxdx = — e

494 TJVRE III.

parce que les deux membres pouvaient être développés en séries convergentes par rapport à a , et que , par conséquent, les coefficients des mêmes puissances de a étaient nécessairement les mêmes de part et d'autre. Or, comme ils ne changent pas, quelque expression que l'on substitue à a, l'identité a toujours lieu; et c'est pour cela qu'en lui substituant a sj-^ i elle existe encore.

374. En partant des valeurs de deux intégrales définies que nous avons données précédemment, on peut parvenir à Texpression donnée par Wallis , du rapport de la circonférence au diamètre.

Ces deux formules sont

' x^^'^'dx 2.4.6. ..^k

^ X^^dX I . 3 ... (2 X- I ) TT

Lorsque A croit indéfiniment, elles tendent toutes les deux vers zéro , comme on peut s'en assurer en renversant les fractions, qui deviennent évidemment infinies avec k •, car la première devient ainsi