III I

et ce produit surpasse — h-^-h^-1-...H — t' qtti croit

indéfiniment avec ft . 11 en serait de même pour la seconde. Mais le rapport de ces intégrales a pour limite l'unité.

En effet, si l'on considère deux valeurs consécutives de /11, les valeurs correspondantes de l'une quelconque des deux intégrales ont un rapport qui tend indéfiniment vers l'unité, à mesure que k augmente. Or, si l'on prend l'exposant de dedans l'autre intégrale, compris entre les

deux valeurs de Texposant de la première, il est clair que la valeur de la seconde intégrale sera comprise enlise les deux consécutives de la première, et que son rapport avec chacune d'elles tendra vers Tunité, comme le rapport qu'elles ont l'une avec l'autre.

On peut encore s'en assurer par la considération suivante, dont on trouve de fréquentes applications.

Lorsque h est très-grand , le numérateur est sensiblement nul, tant que a: n'est pas très-voisin de l'unité, le dénominateur restant alors fini , la partie de l'intégrale prise depuis zéro jusqu'à une valeur i — a , a étant une quantité fixe aussi petite que l'on voudra , est très-petite par rapport au reste de Pintégrale; et le rapport de ces deux parties tend vers zéro en même temps que k augmente, a restant constant (*). Pour comparer les deux intégrales en question, lorsque k augmente indéfiniment, il suffit donc de prendre le rapport des parties de ces intégrales relatives aux limites i — a et i , puis de supposer que a diminue de plus en plus. Or le rapport des dîffé-

(*) On a, en effet,

"« x^dx __ (i — a)»+' I

/* x*dx 1 — (i — fit)"-*-' I ■

y. étant compris entre o et i -— oc, et y entre i — a et i ; d'où ii résulte

yjl y« V^I-itt*

Le rapport de la seconde intégrale à la première est donc plus grand que

(i — «)«+' 11 croit donc infiniment avec n, quelque petit que soit a.

496 LlYEE III.

rentifiUes esta:, et^ par conséquent, le rapport des parties que nous considérons des intégrales est une moyenne entre les valeurs extrêmes de x , qui sont i ■^- a et i . Ce rapport a donc pour limite i ; et il en est de même du rapport des intégrales entières, puisqu'on n'en a négligé quVne partie infiniment petite par rapport à ellesmêmes.

On a donc

d'où