CHAPITRE X
INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES QUI RENFERMENT PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES.
fi75. Nous n'avons considéré jusqu'ici que les différentielles qui ne renferment qu'une seule variable et qui sont, par conséquent , de la forme F (x)rix'^ nous allons examiner maintenant celles qui renferment plusieurs variables indépendantes , et nous proposer de déterminer, s'il est possible, la fonction de ces variables qui a pour différentielle totale l'expression donnée.
Considérons d'abord deux variables x ^ y^ et soit proposé d'intégrer l'expression
dans laquelle on a
M = (p(.r, /), N = ^Ka:, ^).
On observera d'abord qu'il n'existe pas toujours une fonction de.r et y dont elle soit la différentielle : car, si Ton désigne par ii une pareille fonction , on devra avoir
M = -7-9 J>=^-; et comme 3— r = -7-^- > 11 laudra dx dy dxdy dydx
au on ait — r- = -7— Si donc les fonctions M, N ne salis- ^ dy dx
font pas à cette identité, il n'existera aucune fonction de X et j" qui ait pour différentielle l'expression donnée. Mais nous allons voir que, si cette condition est remplie., la fonction cherchée existe nécessairement, et que sa détermination se ramène toujours à des quadratures, I. 32
4g8 LIVRE III.
On remarquera d'abord que celte fonction, devant avoir M pour dérivée partielle par rapport à x , doit être renfermée dans l'intégrale indéfinie de Mrfx par rapport à x^ y étant considérée comme une constante. Elle est donc
comprise dans l'expression / Mdx H- V, V étant
une
fonction arbitraire de y.
Il reste à déterminer cette fonction de manière que la dérivée partielle par rapport hj soit N. Or cette dérivée est
r'' du , dS r' d^ ^ d\
ou enfin
dV
Il est donc nécessaire et suffisant que l'on ait
dV C^
— \ (-^0, j) = o , OU V = I ^ (oTo, y) dy -h C.
dy
Il existe donc nécessairement une fonction de X et j^, dont l'expression donnée est la différentielle 5 et la valeur la plus générale de cette fonction 11 est
11= l f^[x,y)dx-\' I '\{x,yy)dy -JfC,
C étant une constante arbitraire.
376. Il n'y a pas plus de difficulté dans le cas où le nombre des variables indépendantes est plus grand. Soit, par exemple,
lAdx'^'^dy-^Vdz
et
M == (? (x, r, 2) , N = njl (jc, j, 2) , P =r X {xy y, »).
Il faudra d'abord que M , N, P satisfassent aux conditions indispensables
rfM rfN rfM€/P rfN r/P (if dx dz dx dz dy
Cela étant, la fonction cherchée sera nécessairement comprise dans la fortnule i Mc?a: H-V, V étant une fonc-
tion arbitraire àe y et 2 , qu'il faut déterminer par la condition, que les dérivées partielles de l'expression précédente, par rapport à y et z, soient respectivement NetP.
On aura donc
„ r'rfM, rfv r'dÇj^^^—v v^rvïi-u''^
P=/ .£.H-=j dx + --P-x{W.»i + ^.
Il est donc nécessaire et suflSsant que la fonction V satisfasse aux deux conditions
d\ , ' dY , .
— = 4, {xo^x, z), -^ = x(^o»r, «) ,
ce qui rentre dans la question précédente. On aura donc
La fonction dont la différentielle est l'expression donnée, existe donc lorsque les trois conditions ci-dessus ont lieu ; et , si on la désigne par u , on aura
«= f^^{xjx,z)dz-h f ^K^o,r,^)^r-H I x{^oyroyz)dz'hC,
c/x, »/ro «^^o
C étant une constante arbitraire.
500 LIYEIE III. '
Il est facile do voir que le cas de m variables se ramène de la même manière au cas de m — i , pourvu que les coefficients satisfassent aux conditions qui expriment que les coefficients différentiels du second ordre de la fonction cherchée , pris de toutes les manières possibles par rapport à deux variables différentes , sont indépendants de l'ordre des différentiations. Donc le problème est toujours possible lorsque ces conditions sont remplies, et il est toujours ramené à de simples quadratures.
DES LIMITES DE SOMMES. 5oi
