SÉPARATION DES VARIABLES

377. Lorsque nous avons cherché à déterminer une fonction inconnue y^ d'une variable x^ connaissant sa dérivée par rapport à jc, nous avons supposé que celte dérivée était exprimée au moyen de x seulement. Il est facile de ramener à ce cas celui où la dérivée serait le produit d'une fonction de x par une fonction de y. En effet, en divisant par le facteur fonction de j, on obtient une équation delà forme suivante, dans laquelle F [y) et f{^x) sont des fonctions connues :

ou

(2) F(r)e/r=/(x)cte.

On dit alors que les variables x , y sont séparées.

Si maintenant on trouve une fonction Fi (j) dont la dérivée par rapport à ^ soit F (/), et une fonction/i ^x) dont la dérivée par rapport à x soit/(x) , l'équation (i) nous montre que Fi [y) et /i (jc) auront même dérivée par rapport à x, quelle que soit la valeur de x^ et que, par conséquent, elles ne peuvent différer que par une constante ; on aura donc

(3) F.(jr)=/.(x)-4-C,

C désignant une constante arbitraire. On aura donc ainsi réqiiaiion cherchée entre x et y, et le problème est ra-

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mené, comme on le voit, à celui qui a été traité précédemment et qui consiste à remonter de la dérivée d'une fonction à cette fonction.

En prenant l'équation sous la forme (2), les deux membres sont les différentielles des deux fonctions Fi (y) ^ fx (j:), relatives à des valeurs correspondantes det/r, dy. Les accroissements finis quelconques de ces deux fonctions , en passant d'un système de valeurs de X 5 y à un autre quelconque, sont donc égaux, et ces fonctions ne peuvent différer que par une constante^ ce qui ramène à l'équation (3).

DES LIMITES UE SOMMES. 5o3