CHAPITRE XIV
EXEMPLES DE LA DÉTERMINATION DES COURBES d'après une propriété DE LEURS TANGENTES.
389. Premier exemple. — Troui^er la courbe dont la sous-tangente est constante.
D'après l'expressîon générale de la sous-tangente, on
aura, en désignant par a sa valeur constante, par x el y
les coordonnées du point de contact, et par dy la difie-
rentielle de la fonction qui représente l'ordonnée de la
courbe,
dx
séparant les variables, il vient dx dy
et d'après la règle du n® 367,
d'où
y=CIe%
équation de la logarithmique.
Deuxième exemple. — Trouver la courbe dont la sousnormale est constante»
Désignant par a cette valeur constante, on aura
d'où
ydy = adx , /' = 2 ût x -h C,
parabole qui a pour axe la ligne des abscisses, 'xa pour paramètre, et son sommet en un point quelconque de Taxe des x.
Troisième exemple. — Trouver la courbe dont la normale a une longueur constante a.
On aura dans ce cas l'équation
d'où
Les variables étant séparées , on aura , par la règle connue,
a:=z± y/fl' — j» H- C, (j? — C)' 4- j' — «%
cercle dont le rayon est a, et qui a son centre en uh point i quelconque de l'axe des x. '
Quatrième exemple. — Troui^er la courbe dont la tangente a une longueur constante a.
L'équation serja dans ce cas
d'où
dx^ rt* — r' , i dy I
Le second membre est une des différentielles binômes dont nous avons calculé l'intégrale, et en prenant le signe in-
UES LIMITKS DK SOMMES. 535
férieur nous en déduirons réquation suivante,
cette courbe est celle qu'on nomme la tractrice.
Cinquième exemple. — Troui^er la courbe telle que le carré de F arc soit proportionnel à F ordonnée.
Il est évident que l'arc et l'ordonnée doivent être nuls ensemble, et que par conséquent, l'axe des j? doit passer par le point de la courbe qui est l'origine des arcs.
En désignant par.; la longueur de l'arc, la condition donnée conduit à l'équation
.ç' =z ay ou s z=z a- 7' ; pour éliminer 5, diflétentions les deux membres, il vient
ds = ^a^X'^ dy = sjdx^-irdy\
OU
y- df =djc'-h dy\
et, par suite,
dx^dy^^^^i^
Cette relation est identique à celle que donnerait une cycloïde dont le cercle générateur aurait pour diamètre j
et dont la tangente au sommet serait Taxe des x.
On retrouverait, au reste, l'équation finie de la cycloïde en intégrant les deux membres de l'équation précédente.
Sixième exemple. — Trouver V équation d'une courbe dont toutes les normales soient tangentes à une courbe donnée.
536 LIVRE m,
La courbe à laquelle les normales d'une courbe quelconque sont tangentes étant la développée de cette dernière, on voit que le problème consiste à trouver la développante de la courbe donnée.
Soient j/jj^ les coordonnées d'un point quelconque de la courbe donnée, dxf^ dy* leurs différentielles, a, 6 les coordonnées du point correspondant de la courbe donnée dont l'équation est (i) F(«,6) = o.
La normale aura pour équation puisqu'elle passe au point (a, 6) on aura
et comme elle est ungeute à la courbe (i), il s'ensuit
ce qui change Féquation précédente en celle-ci
Entre les équations (i), (a), (3), si on élimine a, (3 après avoir remplacé — par sa valeur en a, 6 que donnera la différenliation de lequation (i), on aura une équation entre :c', j^' et — appartenant à la développante. Ce calcul est le même que celui auquel nous avions été conduits dans la théorie des développées. Nous allons Teffecluer dans le cas particulier du cercle.
Développante du cercle. — L' équation (i) devient, dans ce cas,
d'où
ao a
1 équation (3) devient, en supprimant les accents,
«x 4- 6j^ = û% et l'équation (2) sera
rélimination de a et 6 conduit à Téquation suivante .
(4) [xdx -+-r^r )' = à'^dx^ -f- dy^\
Soient B (Jig. 99) le point da cercle à partir duquel ou fait le développement 5 M un point quelconque de la développante et T le point correspondant du cercle, on aura
TM = arc BT ;
si Ton désigne l'arc BM par s et AM par r, on aura
r'=rx'-4-/% rdrz=:xdx-\-ydyy dx^ -\- dy"" z=i ds^ \ l'équation (4) devient alors
rdr = ads.
Les variables r et 5 étant séparées, si Ton intègre les deux membre*, après les aroir doublés, on obtient
La constante C se déterminera par la condition que pour j = o on ait r = « 5 ce qui donne C = a* , et , par suite ,
Cette propriété remarquable cai fait connaître une
autre , en observant que r* = a* -h TM = a* H- BT \ en effet, on déduit de là, entre les arts BT et BM ou 5, la re-
538 LIVRE m.
lation très-simple
BT =2fl5.
LVquation (4) peut être transformée en coordonnées polaires. En désignant Tangle MAX par 0, on aura
d'où
dr
dfi=.^^?—
ar
en intégrant les deux membres, on obtient
B =: - i/r^ — «' -h arc sm - -f- C> a ^ r
et comme on doit avoir en même temps
9 = 0, r=a, il en résultera
et Téquation de la développante deviendra
(5) 9 = -i \Jr^—a' —
a arc ces-'
C'est ce qu'on déduirait immédiatement de la figure , en observant qu'on a 9 = TAX — TAM , ce qui n'est autre chose que l'équation (5).
L'équation précédente ax -h 6y = «' nous redonnerait, comme nous l'avons vu dans la théorie des développées, l'équation de la développante en coordonnées rectangles. Mais on peut la déduire de l'équation (5) que l'on mettra d'abord sous la forme
arc cos - =-^r^ — a^ — ô , r a^
- = cosO cos - v'*' — a* -f- sin B sin - yr» — a^ \
remplaçant cos6 par-? sinÔ par -- et /' par x^ -f-J*) on
obtient enfin Téquation déjà trouvée de la développante du cercle
X cos - \/x' -h jr' — «^ -f- j sin - i/ar* -h /' — a = a,
que Ton obtiendrait directement en projetant Tabscisse et l'ordonnée du point M sur le rayon AT.
On appelle série une suite de termes positifs ou négatifs, dont le nombre est infini.
On dît qu*une série est com^ergentùy lorsque la somme algébrique des n premiers termes tend vers une limite déterminée, à mesure que n augmente indéfiniment. Elle est div^ergente dans le cas contraire.
1 . Le développement en séries peut être très-utile pour la détermination approchée des grandeurs, soit constantes, soit variables. Mais on ne peut évidemment, dans des calculs soit numériques , soit algébriques , remplacer une quantité quelconque par une sérife, que lorsque celle-ci a pour limite cette quantité même. Il est donc nécessaire de connaître quelques caractères d'après lesquels on puisse juger si une série donnée est ou n'est pas convergente. Nous allons exposer les règles les plus simples qui ont été données à cet effet, et dont quelquesunes sont tirées du Cours d* Analyse de M. Cauchy.
Nous remarquerons d'abord que la somme des termes d'une série ne peut tendre vers une limite déterminée, si la grandeur des termes ne tend pas vers zéro. Cela est tout à fait évident , lorsque les termes sont tous de même signe, parce qu'alors leur somme croîtrait indéfiniment avec leur nombre. Mais, lors même qu'ails seraient de signes différents , les sommes successives ne pourraient avoir une différence moindre que toute quantité donnée avec une grandeur déterminée, puisque deux sommes
consécutives auraient toujours entre elles une différence finie, qui serait le terme auquel s'arrête la dernière.
Il est donc indispensable , pour qu une série soit convergente, que ses termes aient pour limite zéro; mais cela n'est pas suffisant, comme nous aurons occasion de le reconnaître. Il faut toujours s'assurer qu*après avoir dépassé un assez grand nombre de termes, à partir du commencement, et s' arrêtant à un terme quelconque au delà , la somme des suivants , quelque nombre que Ton en prenne, est au-dessous d'une quantité, qui peut être supposée aussi petite que l'on voudra.
Il est encore bon de remarquer que si une série est convei^ente quand on prend tous ses termes avec le même signe, elle le sera encore quand on multipliera tous ses termes par un même nombre quelconque, ou même par des nombres différents, positifs ou négatifs, pourvu qu'ils restent finis. En effet, puisque la somme arithmétique des termes de la première série, qui sontjau delà d'un certain rang, peut être supposée moindre que toute grandeur donnée , il en sera de même dans la seconde; car la somme de ses termes au delà du même rang, lors même qu'on les prendrait tous avec le même signe, sera moindre que la somme des correspondants delà première , multipliée par le plus grand desiacteurs introduits, qui est supposé fini.
