La transformation de

a±bsl — I en p(cosz±v' — i sinz)

ramène toutes les opérations sur les quantités imaginaires aux opérations sur des expressions de la forme

ces z ± v'' — I sio « , et nous avons vu que celles-ci se ramenaient toutes aux opérations immédiatement inférieures sur les arcs, propriétés tout à fait analogues à celles des exponentielles.

Cette analogie sera encore augmentée par les considérations suivantes.

Représentation des sinus et cosinus par des exponen tielles imaginaires .

33. Si dans le développement de e' on change a: en X si — I, et qu'on représente la série résultante par e' "*, on aura

Si l'on convient de même de désigner par e~' *^~* le résultat de la substitution de — x sj — 1 k x dans le développement de e', on aura

Ces équations peuvent être écrites comme il suit: e-* *^-' = cosjr — \/ — 1 sin x ;

d'où Ton tire

i COSJ? = • I sinx =

et dans toute? ces formules il ne faut pas oublier que e"^*^"^ et e"~^*^~* n'ont aucun sens comme exponentielles : elles ne représentent autre chose que les séries qu'on obtient en substituant -^ x ^ — i et — x^ — i dans le développement de è^, et traitant y — i de la manière convenue.

34. Il est facile de démontrer que ces exponentielles imaginaires doivent être traitées d'après les mêmes règles que si les exposants étaient réels.

Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de multiplier gxvCTi p^j, e^^"^^ en entendant toujours par là les séries qui représentent ces expressions, et qui peuvent être remplacées par cosa;H-V^ — i sin a: et cosy -h y— î sin j, dont le produit est cos (a: -4- j^) H- V^ — i sin(jt: -j- y). Cette dernière expression est représentée , dans le même sens, par cM"^-^'^ ^■"* ; donc on peut poser

La règle des exposants réels s'observe donc dans la multiplication des exponentielles imaginaires, et, par suite, dans leur division, dans leur élévation à des puissances, et dans l'extraction de leurs racines.

On pourrait encore déduire cette proposition de ce que e''*"'' étant égal à e' e^ pour toutes les valeurs réelles de x et j, on a identiquement

l-f- ^ -'^- h...= ( IH 1 h...) ( H---h — -4-... |.

L'identité ne sera pas troublée en changeant dans les deux membres x en a: v' — i , ou j^ eHysJ — i ; et Ton trouverai toujours les mêmes termes réels ou imaginaires avec les mêmes signes : d'où l'on conclut

OU encore, en supposant qu'on change seulement j^ en

ei'+y^--^) z=i e'ey"^' = tf*(cos/-f- ^ — i sm/).

3o. On est convenu de donner le nom de logarithmes aux exposants imaginaires, comme aux exposants réels. Ainsi a: -+- y V^ — i est le logarithme de e-^{cosy^-t- v' — I sinj)^ et pour avoir le logarithme d'une expression de la forme aàzbyf^i^ on posera d' abord

(i±^v'^=p(cosx±>/^sina:)=:é?^/»=*=*v/^

f.^tant la plus petite valeur positive de a:, et l'on aura

I (« ±: b sf^i )=zL][a'^ b')±: /^ (y ± 2 nn). Si A = o, on a pour toutes les valeurs du logarithme de a,

L'arc (f est égal à o si a est positif, et égal à tt si a est négatif. On a donc, en entendant par la le logarithme

arithmétique du nombre a ,

• l(4-rt) = lfl±2/tirv/— I,

Cette dernière expression ne donne aucune valeur réelle \ la première en donne une seule.

En faisant a = i , on trouve

1 l = ±:2/i7r/^, 1(— l)=±(27i -h i)tr^~.

36. On peut exprimer, au moyen des formules précédentes , les racines des équations de la forme

x"» -\' pa^ -1-^ = 0.

En effet, on en tire d'abord

Si Ton Si j 9 > o, ou = o, les valeurs de x seront

les racines de quantités réelles , et nous avons vu comment on pouvait les exprimer au moyen des lignes trigohomé triques.

Si Ton a y- — </ <C ^ , les valeurs de x" seront de la

forme a±b si — i, et l'on en extraira les racines w'**^", comme nous l'avons indiqué en dernier lieu.

Si l'on forme, d'après les valeurs de ces racines, les facteurs réels de x^'^-\-px^ -|- </, on reconnaît immédiatement une construction simple qui les représente géométriquement, et qui repose sur la division du cercle en parties égales. Nous nous dispenserons d'entrer dans ces détails.

FIN DU TOIfE PBEMIKR.