Soit maintenant
ml
a:* -h 1 = 0 ou x^=z — i, d*où x = \ — i.
On peut encore donner à — i la forme cosz -1- ^— i sîn 2, en posant z = {2 n -f- i)7r. On aura donc des valeurs de a: par la formule
(2/î4-l)îr / . (2«-f-l)7r
X = C08 ^ ' h V — I sm — :
il suffira encore de prendre m valeurs consécutives de n , parce qu'elles correspondront toutes à des sinus ou cosinus différents, et toutes les autres valeurs de n fourniraient les mêmes valeurs pour x. Toutes les racines de l'équation
ar"-h I =0
sont donc données par la formule
(2;i + l)7r^^ i— . (2/î-f-l)ir
jc = cos '— zt V — I sm ^ — 9
en donnant à ndes valeurs positives depuis zéro jusqu'à ce qu'il en résulte m valeurs pour le second membre. Si m = ^k^ les valeurs de n seront o , i, 2 , . . . , & — i, les valeurs de x seront toutes imaginaires , conjuguées et réciproques. Si m = 2A" -f- 1, les valeurs de n seront o, i, 2 , . . . , /e , la dernière donnera x = — i ", toutes les autres valeurs de x seront conjuguées et réciproques.
Les racines de dt i étant connues , on aura celles de db A en les multipliant par la racine arithmétique de A.
Les facteurs réels du premier et du second degré, dans lesquels peuvent se décomposer les binômes x"^ — i et a:"*-}-T, peuvent être représentés par une construction fort simple, qui dépend de la division du cercle en parties égales, et qui a été donnée par le géomètre anglais Cotes.
31 . Cherchons maintenant à extraire la racine w'^'"* d'une expression de la forme
Nous pouvons la mettre sous la forme
p(cosz±v^ — I sinz), en déterminant p et z par les deux équations
pcos2 = a, psin2 = ^;
d'où
P =± \/fl' -i- b^i ces z = - ? siûz =
Pour plus de commodité, nous ne prendrons que la valeur
positive de p. Désignons par ç le plus petit arc positif
ayant pqur cosinus - et pour sinus -; on pourra, sans
que ces lignes changent, l'augmenter d'un nombre quelconque de circonférences , et l'on aura
a±b V^— 1 =p[cos(f -4- Tinte) de ^ — i sin (<p -H 2«7r)J.
On aura des racines m**'"^^ de cette expression en prenant la racine m'^'"^ arithmétique de p , et la multipliant par la racine du second facteur, que l'on obtiendra par la divi sion de l'arec on a ainsi
p"»/ CCS ' db V — 1 sin ' •
Il suffit évidemment de donner à n , m valeurs consécutives, positives ou négatives -, toutes les autres donneraient les mêmes résultats. De plus , ces m valeurs de n donnent des valeurs différentes pour les sinus ou cosinus de
^ ; donc, en donnant à n les valeurs 0,1,2,...,
fn — i^ toutes les valeurs de la racine cherchée seront données par la formule
\a±b V — I =P^(cos i^ db V— I sm )?
les signes supérieurs de \) — i se correspondant , ainsi que les inférieurs.
