CHAPITRE VI
DES GRANDEURS CONSIDÉRÉES .COMME LIMITES DE SOMMES d'infiniment PETITS.
26. Une des conceptions les plus importantes dans la mesure des grandeurs , est celle par laquelle on les considère comme limites de sommes de quantités d'espèce plus simple ^ qui tendent indéfiniment verç s^ro , en même temps que leur nombre augmenta indéfiniment. Ceç infiniment petits sont susceptibles d'une grande indétermination^ ils ne sont assujettis qu'à la condition que la différence de leur somme à la quantité proposée ait pour limite zéro. Il reste donc beaucoup de latitude dans le choix de ces éléments, et l'on peut en profiter pour simplifier considérablement les calcul».
Le principe fondamental sur lequel se fondent ces simplifications est le suivant :
Théorème. — Za limite de la somme de quantités positives infiniment peiùes n'est pas changée j lorsqu'on remplace ces quantités par d'autres dont les rapports ai^ec elles ont respectii^ement pour limite l'unité.
Soient 9 en efiet, les infiniment petits
«1» «J> «3, . • ., Oimy
dont la somme tend vers une limite à mesure que leur nombre augmente indéfiniment. Soient d'autres infiniment petits
tels
,que
les
rapports
aa
aient tous pour limite l'unité.
Or on sait que si Ton a une suite de fractions dont les dénominateurs soient positifs et les numérateurs de signes quelconques, la somme algébrique des numérateurs divisée par la somme des dénominateurs, est intermédiaire entre les deux qui sont algébriquement la plus petite et la* plus grande.
La fraction
P I H- Pa -h • . . -h P«
sera donc comprise entre la plus grande et la plus petite des précédentes , et tendra nécessairement aussi vers l'unité : d'où il résulte que les limites de son numérateur et de son dénominateur sont égales \ la somme Pi-hjSî-f-Pg-H. ..+|3,« a donc la même limite que «i 4- «î -I- ... -I- a,„. Ce qu'il fallait démontrer.
Si l'une de ces deux sommes était invariable, la limite de l'autre serait égale à la valeiu* constante de la première, puisque la limite de leur rapport est l'unité.
Remarque. — Si le rapport de deux éléments correspondants quelconques des deux sommes , au lieu de tendre vers l'unité , tendait vers une même limite quelconque /, le rapport des deux sommes serait compris entre deux rapports ayant l pour limite, et aurait, par conséquent, cette même limite. Donc les limites des deux sonmies ont précisément l pour rapport.
On voit donc que la recherche des limites de sommes d'infiniment petits peut conduire à celle des limites des * rapports , que nous aurons bientôt à considérer directement. Cette dernière recherche est facilitée par un théorème analogue au précédent, et qu'il est bon d'établir dès à présent.
27. Deuxième théorème. — La limite du rapport de deux quantités infiniment petites n^est pas changée quand on remplace ces^ quantités par d'autres , qui ne leur sont pas égales ^ mais dont les rapports as^ec elles ont respectivement pour limites l'unité.
Soient, en effet, a et 6 deux quantités infiniment petites; a' et 6' d'autres quantités telles, que les limites de -^
et de ^ soient égales à l'unité, et que, par suite, les limites
des rapports inverses — > '^ soient aussi égales à Tunitéj
on aura identiquement .
