PI ?

Les limites de quantités égales étant égales, et la limite d'un produit étant le produit des limites, on tirera de cette identité , en désignant les limites par l'abrévia-

lion lim,, et observant que li m. — = 1 et lim.--=: i,

lim.- = lini.^.

Ce qu'il fallait démontrer.

28. On peut énoncer ces deux mêmes théorèmes d'une autre manière , au moyen de la proposition suivante :

Lorsque la limite du rapport de deux quantités est Vunitéf leur différence est infiniment petite par rapport à tune quelconque des deux; c'est-à-dire que le rapport de cette différence à l'une quelconque de ces quantités a pour limite zéro.

Et réciproquement : Si la différence de deux quantités est infiniment petite par rappon à F une d'elles, la limite de leur rapport est Vuniiè.

38 LIVEK I.

Soient, en eflfet, « et aJ deux quantités quelconques et i leur différence \ on aura

a' = a 4- ^, d*où i = -7 4- -. 9 a

Donc, si la limite de -j est l'unité^ celle de -> est «éro,

et réciproquement.

Si l'on avait divisé par a au lieu de a', on aurait prouvé

que - a pour limite zéro*, et d'ailleurs il est évident que â, étant la différence de a et a'^ est contenue dans le plus grand une fois de plus que dans l'autre, et que, par conséquent, les rapports - > -7 sont en même temps infiniment

petits.

On pourra donc énoncer le premier théorème de cette autre manière :

La imite du rapport dç deux infiniment petits n'est pas changée, quand on les remplace respectii^ment par d'autres qui en diffèrent respectivement de quantités infiniment petites par rapport à eux.

Le grand avantage que l'on retire de ces théorèmes consiste en ce qu'ils permettent souvent de négliger, dans les quantités infiniment petites , la partie qui en rend la comparaison et le calcul difficiles. Il suffit toujours que cette partie soit infiniment petite relativement à !a quantité elle-même , et il n'en résulte aucune erreur dans les résultats où l'on n'a en vue que les limites des rapports pu des sommes de ces quantités infiniment petiti^.

Div^ers ordres d'infiniment petits.

129. Si l'on considère plusieurs infiniment petits dépen? dant les uns des ai^tres, de telle sorte que, l'un étant déter-

DES QUANTlTiS COMSIDKRKES GQMMB LIMITES. 3g

miné , tous les autres le soient, et que Ton en prenne un en particulier pour y rapporter tous les autres , on appellera infiniment petits du premier ordre ceux dont les rapports avec celui-là auront des limites finies \ infiniment petits du second ordre , ceux dont les rapports avec le même infiniment petit principal seront des infiniment petits du premier ordre ; et en général infiniment petits de l'ordre », ceux dont les rapports avec l'infiniment petit principal seront des infiniment petits de l'ordre n — i .

Lorsque l'on veut exprimer seulement que le rapport d'un infiniment petit à un autre a pour limite zéro , on dit que le premier est infiniment petit par rapport au second.

Cela posé, il est très-facile d'exprimer au moyen de l'infiniment petit principal , ceux de tous les ordres différents. En effet, désignons le premier par a, et par /3 un infiniment petit du premier ordre dont la limite du rapport avec a soit K5 on aura

^ = K4-w, d'où p = «(K-hw),

(ù tendant vers zéro en même temps que a.

L'expression de tout infiniment petit du premier ordre sera donc de la forme

(à étant infiniment petit, et K fini.

Soit maintenant y un infiniment petit du second ordre 9

le rapport - devant être du premier ordre; on aura

et, par conséquent, la forme de tout infiniment petit du

40 IIVRE I.

second ordre sera

En continuant ainsi , il est facile de voir que la forme générale des infiniment petits de l'ordre n est

K étant fini, et w infiniment petit.

Mais 11 y a souvent lieu de considérer des infiniment petits dont le rapport avec une puissance fractionnaire de a a une limite finie; et l'on est convenu d'appeler

infiniment petit de Tordre - celui dont le rapport avec

p OL^ a une limite finie : la formule qui représentera les quantités de cet ordre sera donc

DES QUANTITÉS COWSlDÉnÉltS COMME LIMITES. 4*