CHAPITRE VIL

comment les aires des courbes planes peuvent

etre considérées comme limites de sommes

d'infiniment petits.

30. Sommes de parallélogrammes infiniment petits . — Considérons une surface plane litnitée par des arcs de courbes quelconques^ divîsons-la par un système de parallèles dont les distances soient dans des rapports arbitraires , mais tendent toutes Vers zéro. La somme des aires comprises entre ces parallèles successives est toujours identique avec Taire cherchée , et chacune de ces aires élémentaires offre la même difficulté que la proposée, puisqu'elle renferme des courbes dans son périmètre.

Mais si à chacune de ces aires élémentaires on supprinie ou l'on ajoute des parties infiniment petites par rapport à ces aires respectives , et qui fassent disparaître la partie courbe de leur périmètre , la limite de la somme de ces nouvelles aires plus simples sera Taire cherchée, d'après le principe général. Le moyen le pliis commode d'obtenir ce résultat consiste à mener par les extrémités de chacune des cordes des parallèles à une même direction arbitraire, terminées à la corde suivante. Soient, . en effet, MN, M'N' deux parallèles consécutives quelconques : en menant par les extrémités M', N' [fig- 4) des parallèles M' H', N'T à une direction choisie à volonté, on retranche les parties NTN, M'H'M; en menant les parallèles MH, NI par les extrémités M, N, on ajouterait, au contraire , les parties MHM', NN'I, Or deux de ces

4a LIVftE I.

quatre parties sont moindres que le parallélogramme NINT, et les deux autres moindres que le parallélogramme MHM'H'; ces deux parallélogrammes sont infiniment petits par rapport au parallélogramme M'H'NT, qui est moindre que le segment de la courbe , car leurs rapports à M' H' NT sont les mêmes que ceux de leurs bases MH', NI' à la base HT, et ces derniers tendent vers zéro, puisque les parallèles MN, M'N' se rapprochant indéfiniment, MH' et NI' tendent vers zéro, tandis que HT reste fini. Il suit de là que les rapports des parallélogrammes HH', ir au segment de la courbe ont pour limite zéro ; il en est de mém« , à plus forte raison^ des triangles formés par les arcs MM', NN', et, par conséquent, Vaire de la courbe est la limite de la somme des parallélogrammes ayant pour hases les cordes parallèles y pour hauteurs leurs distances, et poui^ant être entièrement intérieurs f ou en partie extérieurs à cette aire.

On peut même remarquer qu il n'est pas nécessaire que les sommets des parallélogrammes soient aux extrémités mêmes des oordes : il suiSt qu'ils soient en des points infiniment voisins de ces extrémités; il n'est même pas nécessaire que ces parallélogrammes soient contigus, pourvu que l'intervalle entre deux consécutifs soit infiniment petit par rapport aux hauteurs infiniment petites de ces par^lélogrammes , car cda revient à retrancher de chaque élément une partie infiniment petite par rapport à lui-même. Cette considération générale , dont l'exactitude résulte du principe fondamental, s'applique à tout ce qui suit.

Pour abréger, nous représenterons une somme de termes ayant ujae même expressicm générale par le

signe 2 suivi de cette expression. Ainsi, u désignant

une corde quelconque et a la distance de deux cordes

DES QUAIITlTiS GOMSIDiRéES GOMME LIMITES. * 4^

consécutives, "^ua représentera la somme des aires des

parallélogrammes variables, etlim. ^wa représentera ïa limite de leur somme, ou l'aire de la courbe.

31 . Sommes de trapèzes infiniment petits. — Au lieu de supposer les lignes MH, M'H\ NI, NI' parallèles à une direction fixe*, on pourrait les mener dans des directions différentes les unes des autres, et variables d'une manière arbitraire d^une trancbe à Fautre : il suflStqu' elles fassent toujours un angle fini avec les cordes. En effet, la figure NINT deviendra un trapèze dont les bases N'I, NT seront infiniment petites , puisque les lignes N'I', NI font avec MN des angles finis , et que la hauteur du trapèze est infiniment petite ; la mesure de cetrapèze a donc un rapport infiniment petit avec celle du trapèze intérieur M'H'NT et, par conséquent, avec le segment mèn^e de la courbe. H en serait de même du trapèze MHM'H'. Si donc, au lieu de ce segment, on prend un des trapèzes ayant pour base MN, M'N', MI' ou NH', on ne fait qu'ajouter ou retrancher à Télément exact de l'aire cherchée,, une quantité infiniment petite par rapport à cet élément,, et la limite de la somme de ces trapèzes sera précisément égale à la somme des éléments exacts de cetie aire on à cette aire elle-même.

Le cas le plus simple est celui des trapèzes inscrits^ dans le segment : les côtés non parallèles sont alors lesi cordes MM', NN'. Il peut aussi être quelquefois utile de faire concourir toutes les lignes MH, M' H', NI, N'I' vei's un même point; et c est ce qu'a fait Archimède dans une de ses méthodes pour la quadrature de la parabole.