APPLICATION DES PRINCIPES PRÉCÉDENTS A QUELQUES EXEMPLES
33. Aire du segment parabolique, — Cette question nous offrira des exemples de procédés très-divers qu'on peut employer dans la recherche des quadratures, et donnera une idée de la variété des ressources que présente la méthode infinitésimale.
Première solution. — En rapportant la parabole au diamètre ÂB {fig» 6) de la base CD du segment oblique donné, et à la tangente ÂY parallèle k cette base^ les carrés des ordonnées sont proportionnels aux abscisses , et Téquation de la courbe est de la forme
y* = apx.
Coupons la surface par des parallèles à Â Y ^ Taire ADÇ pourra %ti*e considérée comme limite de la somme de parallélogrammes intérieurs qui seront divisés en deux parties égales par le diamètre AB ^ de sorte que les deux aires ABC, ABD, étant limites de sommes égales, sont équivalentes. Il suffit donc de calculer la moitié ABC.
On connaîtra l'aire ABC si l'on connaît son rapport au complément AEC de cette aire au parallélogramme ABCE^ et pour cela, nous comparerons deux parallélogrammes correspondants PMHP', QMKQ'des sommes qui ont pour limites ces deux aires. En désignant par x, j les coordonnées du point quelconque M , et par h et h les accroissements qu'elles suivissent quand on passe de M à
DES QUANTITl^S GONSIDKRÉKS eOMME LIMITES. 4?
M', on aura
PMHP^ j^ QMKQ'""xit'
et l'on a , par l'équation de la courbe, d'où
On tire de là A, au moyen de A, et le rapport chercté
-7. devient xk
/(a^H-^) . ky •'— i— :: ou 2 H :^«
Ce rapport tend donc vers la limite 2 lorsque h. tend vers zéro. Les deux aires AC6, AEC sont donc les limites de sommes d'infiniment petits tels, que le rapport dé deux correspondants quelconques tend vers la même limite 2 : donc, d'après les principes démontrés (n^ 26), le rapport des aires AC6, AEC est précisément 2.
Ainsi l'aire ACB est les deux tiers du parallélogramme
AECB •, et Faire proposée ACD est les ^ de ce même parallélogramme, ou du triangle rectiligne ACD, comme Archimède l'a démontré le premier.
Deuxième solution. — Il est facile de calculer directement Taire AEC, qui est 4a limite de la somme des parallélogrammes QMKQ' ou QHM'Q', dont l'expression générale est xk sin A , A désignant l'angle YAX. k désignant l'accroissement successif de y^ il est nécessaire d'exprimer x au moyen de y; ce qui donnera pour expression d'un quelconque des parallélogrammes
Or si l'on suppose dans ce cas-ci que les hauteurs des parallélogrammes soient toutes égales, ce qui
4y LIVRE I.
était inutile dans la solution précédente, les valeurs successives de y seront
/• , 2 ^ , 3 ^ . . . , nk ^ et l'on aura
«>t=:AE, ou (/î-hi)A = AE,
suivant qu'on prendra les parallélogrammes QM' ou QK, ce qui est indifférent.
Il s'agit donc de trouver la limite de la somme
/•* sin A ,
(iH- 2» -h 3* -h... -4-/1'),
lorsque n croît indéfiniment, et que A décroit en même temps de telle sorte que l'on ait toujours nk = AE.
Or Archimède a donné pour la sommation des carrés des nombres naturels une formule qui , écrite avec les signes employés par les modernes , donne
Il faut donc trouver la limite de l'expression suivante
Â^sinA 72(/ï + i)(2/2 -I- i)
OU
AE(AE-f-^)(2AE4~ /'.)sinA
lorsque fc tend vers zéro. Cette limite est évidemment
AE . sin A AB.AEsinA -^__ ou 3
en observant que = AB.
^ ip
L'aire AEC est donc le tiers du parallélogramme ABCE 5
DBS QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMMR LIMITES. ^^
et Faire ABC en eist les deux tiers, comme nous l'avions trouvé par le premier procédé.
Troisième solution. — Cette solution auraFavanlage de donner un exemple d'un mode de décomposition trèsdifférent des précédents. Nous y considérerons une aire comme limite d'une somme d'aires infiniment petites déterminées par des droites tangentes à une même courbe.
Soient ACC (fig- 7) le segment parabolique 5 AB le diamètre, CD la tangente en C, d'où résulte AD= AB5 nous allons comparer les deux aires ACB, DAC.
Nous considérerons ACB comme limite d'une somme de trapèzes inscrits PMMT', dont les côtés PP' situés sur AB tendent tous d'une manière quelconque vers zéro.
Quant à Faire DAC , nous mènerons en M et RI' les deux tangentes MT, M'T', d'où résultera AT == AP, AT' = AP', TT' = PP'. Si par le point de rencontre R de ces tangentes on mène une parallèle à AB , on aura le diamètre des cordes MM' qui passera par conséquent par le milieu de MM'; de sorte que l'aire du triangle TRT' sera la moitié de celle du trapèze PP'MM'. Or il est facile de reconnaître que Faire DAC est la limite de la somme des triangles T'TR. En effet , cette aire est exactement la somme des aires comprises entre chacun des arcs MM', la tangente M'T', la l3ase T'T et la tangente TM, terminée en M. Mais chacune de ces aires diffère du triangle correspondant T'TR d'une quantité infiniment petite par rapport à lui , lorsque PP' tend vers zéro ; car cette différence est moindre que le triangle recliligne MRM' dont le rapport au triangle T'RT est celui des rectangles des côtés qui comprennent leurs angles en R, qui sont supplémentaires ; rapport qui est évidemment infiniment petit. Donc Faire DAC est la limite de la somme des triangles T'RT.
Cela posé, les deux aires ACB, DAC étant limites de
50 UVRlt I.
sommes dHnfliiiment petits qui sont dans le rapport de 2:1, seront elles-mêmes dans ce rapport. Donc ACB est les deux tiers du triangle DBG , on du parallélogramme construit sur AB et BG; ce qui ramène aux résultats précédemment obtenus c
34. Généralisation du problème, — Au Heu de l'équation particulière j^*= ^px^ prenons Féquation plus générale y* = px^, n et m étant des nombres entiers quelconques, positifs ou de signes contraires. Les courbes qu'elle représente seront paraboliques dans le premier cas*, dans le second, elles seront des hyperboles ayant les axes de coordonnées pour asymptotes.
i^. La courbe représentée par V équation j" •= px""^ m et n étant positifs, passe par Torigi ne, et nous naus proposons de mesurer l'aire comprise entre un arc AM {Jig* 8) et les coordonnées MB, AB de son extrémité M.
Pour cela, nous chercherons le rapport des deux aires AMB, AMG5 et, à cet effet, nous comparerons deux parallélogrammes correspondants KP', NQ', éléments infiniment petits des sommes dont les limites sont AMB, AMG. En désignant par x^ y. les coordonnées de N, par A, k leurs accroissements en passant de N en N', le rapport des deux parallélogrammes sera
vh Y h
^» et sa limite sera - lîm. -r» Pour obtenir la limite de
xk ' X k
-r> il faut exprimer que les deux points sont sur la
courbe , ce qui donne
Développant les puissances, et supprimant les premiers termes des deux membres qui se détruisent, il vient
h (nj''-^ H- P) = h{mpx^' -♦-«),
DES QUANTITÉS GON$lDi&É£S COMME LIMITES. 5l
^ représentant une somme de termes qui renferment A: depuis la première puissance jusqu'à la (n — i)**"*', et a une somme de termes renfermant 7i depuis la première puissance jusqu'à la (m — i )»«««. On tire de cette équation
et , pat^ conséquent,
La limite du rapport des deux parallélogrammes est
donc
/ir" n
-^ ou —
mpaf*' m
Donc aussi le rapport des deux aires AMB, AMC est — ;
l'aire cherchée AMB est donc au parallélogramme ABMC
Il n 1 nàh sin A . ,, dans le rapport : et sa valeur est 5 si 1 on
* * Wî -h « /W -h 71
désigne par a , & les coordonnées de M et par A l'angle des axes. Si l'aire , au lieu d'être prise à partir de l'origine , l'était entre deux ordonnées correspondantes aux abscisses a, a', elle aurait évidemment pour expression
2^. Si les deux exposants sont de signes contraires , on peut mettre l'équation sous la forme
en supposant m et n positifs.
Les deux parallélogrammes MP', MQ' {fig* 9) , éléments correspondants des sommes qui ont pour limites
rh les aires NN'BB', NN'CC, ont pour rapport — ^, A et
5a LIVRE I.
h ëtant de signes contraires et satisfaisant à Téquation
OU
[yn ^ (;y.«-. ^ p) ^-| [a^^f^maf^^ + a)h] =/>,
/3 représentant un ensemble de termes renfermant A: à la première puissance ou à des puissances supérieures^ et a un ensemble de termes renfermant A à un degré égal ou supérieur à l'unité.
Effectuant le produit et supprimant les termes y^'x'^ et p qui se détruisent , il vient
-f-(/ïr'*^*-+- P)('w.r"-^'-t-a)/-A =o.
Divisant par k et prenant les limites, on trouve
d'où
nyn-x jfn ^ mx^~^y^ lim. - =r o;
h nx
hm. - =
h my
Le rapport des deux rectangles MP', MQ' a donc pour limite — , et , par conséquent , le rapport des aires NN'BB',
NN'CC est -.
Il est facile d'avoir une seconde relation entre ces deux aires.
En effet, la première, ajoutée au parallélogramme AN, forme la même figure que la seconde ajoutée au parallélogramme AN'; donc la différence de ces aires est égale à la différence de ces deux parallélogrammes, ou à {a*V — ah) sin A , si Ton désigne par a^ b et a\ V les
coordonnées des extrémités N, N'. On trouvera ainsi NN'BB' = -^^ [a'b' -^ ab) sin A.
35. Exemple d'une loi particulière pour les bases des parallélogrammes élémentaires. — Comme les bases infiniment petites des parallélogrammes ne sont assujetties à aucune loi nécessaire, on choisît celle qui semble devoir donner les calculs les plus simples.
Dans un des exemples précédents , nous avons supposé ces bases égales*, dans d'autres, nous n'avons eu besoin de supposer aucune dépendance entre elles. Nous allons' donneç des exemples où la sommation devient très-facile quand on suppose que les abscisses des points de division s'ont en progression géométrique et que, par suite, leurs diâerences, ou les bases des parallélogrammes, forment une progression ayant la même raison. Ce procédé est dû à Fermât.
Soit l'équation
y=pjf^,
dans laquelle nous supposerons m quelconque, positif ou négatif^ ce qui renferme les paraboles et hyperboles que nous venons de considérer. Cherchons l'aire comprise entre un arc quelconque MM' {fig* lo) de la courbe, les deux ordonnées extrêmes MP , M'P' et Taxe des x\ et, pour plus de simplicité, supposons les axes rectangulaires. Soient a, ft les coordonnées de M; a', b' celles de M'. Partageons PP' en n parties tendant vers zéro, et telles, que les abscisses de tous les points de division forment une progression géométrique
on aura
a' = aq^ 5
de sorte que n étant déterminé , q s'ensuivra , et q tendra vers l'unité lorsque n croîtra indéfiniment 5 de sorte
que la distance de deux points consécutifs tendra vers zéro. L'expression générale de cette distance sera
Elles formeront donc une progression géométrique ayant pour premier terme a[q — i) et pour raison q.
Or ces distances doivent être multipliées par les or-r .données successives qui seront aussi en progression géométrique, puisqu'elles ont pour expression générale px"'^ et que les valeurs de x que l'on considère sont en progression géométrique. Les rectangles élémentaires auront donc pour mesure le produit des tjermes correspondants de deux progressions, et formeront, par conséquent, une nouvelle progression. On pourra donc avoir l'ex-^ pression de la somme de ces rectangles, et il ne s'agira plus que de calculer la limite de cette expression.
La base du rectangle dont la première abscisse est aq*^ sera a [q — i) 7'*, sa hauteur paT'q"*'' et sa surface pa""-^^ (q — i) ^ ('»+!)'•, La sonmie de ces rectangles sera
^flw+t (^ — l) [i 4- q""-^^ -f- ^U"+0 -h . . . -+- y («-0 («+0],
pu, en sommant cette progression géométrique dont la raison est ^"^S
ou , à cause de aq** = a',
gtlH-l , '
il ne reste donc plus qu'à trouver la limite du rapport
qfn-hi — j
> lorsque q tend vers l'unité 5 ce qui n'offre
aucune diflSiculté. Nqus distinguerons deux cas , suivant que /n -H I sera positif ou négatif.
1°. Soit d'abord m -h i positif et représenté par le
rapport de deux entiers quelconques — > il s'agit de
DES QUANTITES GONSIDÉEÉES GOMME LIMITES. 55
trouver la limite de -^ ? quand q tend vers i, ou,
en posant ^* =: f, celle de 7— — > quand t tend luimême vers l'unité. Remplaçant t par i -f- a, a tendra vers zéro , et le rapport précédent devient
5aH--
roL-^
Divisant par a les deux termes , et faisant a = o , on aura la limite de la fraction, qui sera
- ou
Donc Taire cherchée sera
p («'»»+• ; a«.+i ) a'b'-^ ab
£^ L ou •
sn -t- I //i -f- 1
• r 2**. Soit maintenant m -i-i = j il faudra trouver
la limite de -^, ou de — 9* —; ^•
Or q^ a pour limite i, et, d'après le calcul précédent , le second facteur a pour limite - ou — — — • ' '^ r m 4-1
La limite de la fraction en question est donc — - —
et Taire aura encore pour expression
p («'»»+• — a^+M a!b^ — ab '—^ ou «
Remarque. — L'aire dont nous venons de trouver l'expression étant la limite de la somme des rectangles ayant pour mesure j^A ou px^h^ h désignant la difierenée infiniment petite de deux valeurs successives de x , suivant une loi arbitraire, il s'ensuit que la limite de la somme Sa:"* A, lorsque x passe de la valeur â à la va-r leur a^ par degrés infiniment petits quelconque$ h , a pour valeur, quel que soit w,
m -ht Si l'on fait a = o et cpie m+i soit positif, cette expression se réduit à
36. Cette formule s'applique à toutes les valeurs positives ou négatives de m , excepté la valeur particulière
r— i,*qui lui donnerait la forme — Mais il est facile de
trouver la formule qui correspond à ce cas , en cherchant
la limite vers laquelle tend l'expression — ?
lorsque l'on fait tendre m vers — i .
Divisant par a'"+% dont la limite est l'unité , et remplaçant m + 1 par u , il s'agit de trouver la limite de l'expression
u quand u tend vers zéro.
Posons ( — I = I -f- a , a tendra vers zéro , et l'expression précédente devient -j dont on éliminera u au moyen
de l'équation qu'on vient de poser, en introduisant la nouvelle variable a. On en tire, en prenant les loga-
DES QUANTITÉS GONSlUÉ&BES GOMME LIMITES. 57
rithmes,
alog— =:log(i-f-a), d'où « = .2iiiJJl?i,
logl a
alog-
et il reste à trouver la limite de , — 7 : ou celle de
log(i4-a)
ï — ; — ; — r oui Dout se luottre sous la forme log(i-f-a)^ ^
ou
Mais on a vu dans V Algèbre (i;oir Note P") que lorsque a
tend vers zéro, suivant une loi quelconque, ( i -f- a)" tend vers une limite déterminée, que Ton désigne ordinairement par la lettre e , et qui n'est autre chose que la base du système de Néper, dont la valeur incommensurable est
La limite de -^ — 4 est donc ■; — ^, et l'expression
u loge ^
a pour limite
/^log-
logtf ' Telle est l'expression de l'aire comprise entre deux ordonnées de la courbe dont Téquation est.
^y = Py et qui n'est autre que l'hyperbole du second degré rapportée à ses asymptotes.
Elle est équilatère, puisque nous avons supposé les axes rectangulaires ^ mais il aurait suffi d'introduire le facteur sin A pour avoir le cas général.
