Aire de la cycloïde, — On appelle rycloïdc

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courbe engendrée par un point d'un cercle quî roule sur une droite donnée. Soient TMU [fig» n) «ûe position quelconque du cercle qui roule sur la droite AB ; M le point qui décrit la courbe \ A la position où le point M est sur la droite fixe*, l'arc MT sera égal à AT, d'après le sens qu'on attache au roulement. Si B est la position où M revient sur la droite fixe, on aura AB = aTta, a étant le rayon du cercle décrivant, et quand le point de contact T vient an milieu C de AB, le point M se trouve à l'extrémité D du diamètre CD perpendiculaire à AB. Ce point D est le sommet de la 43ycloïde, et CD en est l'axe.

Cela posé, on demande la mesure de l'aire ABD comprise entre la courbe entière et sa base.

Cette question sera résolue si l'on détermine le complément de cette aire au rectangle ABA'B' qui est égal k^iza*^ ou à quatre fois Faire du cercle générateur. C'est ce complément que nous allons chercher, et nous le regarderons comme limite de la somme des rectangles compris entre les perpendiculaires successives abaissées des points de la courbe sur A'B'.

Soient M, M' deux points infiniment voisins pris sur la cycloïde^ MK, M'K' perpendiculaires à AB5 MR, M'R' des parallèles à AB qui rencontrent en N, N' le cercle décrit sur CDcomme diamètre. Comparons les deux rectangles.MK', NR'; leùr^rapport est

MK.MH QU MH

NR.M'H ^" MQ'M'H'

et sa limite est égale au produit de r— - par la limite du

rapport «75 • Or nous allons montrer que cette dernière

est précisément -=-^' d'où résultera que la limite du rapport des deux rectangles MR', NR' est l'unité 5 ce qui ramènera l'aire cherchée à celle du cercle CD.

DBS QUANTITÉS GONSIDÉAliES GOMME LIMITES. 5g

En effet, le cercle mobile viendra dans la position qui amène le point M dans une position quelconque, en le faisant d'abord tourner autour de son centre immobile , ce qui amènera d'abord M en une position I ^ puis transportantle système parallèlement à AB, d'une quantité égale à l'arc MI, ce qui amènera le point de contact T en T', et le point décrivant en M\ en prenant TT'= MI = IM', et l'on sait que cet arc MI difière de sa corde d'une quantité infiniment petite par rapport à lui-même, puisqu'on a démontré dan^ la Trigonométrie que le rapport d'un arc infiniment petit à sa corde, ou à son sinus, ou à sa tangente, a pour limite l'unité.

En nommant a l'angle de la corde MI avec MH, on aura

MH = corde MI . cosa + MI , M'H = corde MI . sina ; donc

M H cosa MI

M' H . sina corde MI. sina

Passant aux limites, et observant que — i ^ a pour limite I , et que l'angle « a pour limite l'angle M que fait MH avec la tangente au cercle en M , on aura

,. MH cosM I i-4-cosM i ,.

M' H smM sinM smM a

= tangQUM=^,

comme nous l'avions annoncé.

Ainsi Faire AA'Dsera égale à celle du demi-cercle GND, puisqu'elles sont les limites de sommes de rectangles tels, que la limite du rapport de deux correspondants quelconques est l'unité. La somme des deux aires A A'D , DBB' est donc égale à celle du cercle générateur, et, par conséquent, l'aire ADB est égale à trois fois celle de ce même cercle.

Si Ton ne voulait mesurer qu'une portion de l'aire

AA'D, on voit qu'elle serait équivalente à la portion cor-, respondante du demi-cercle CD.

38. Descartes a donné plusieurs démonstrations trèsélégantes de cette proposition. Nous nous bornerons à en rapporter une.

Soient C [fig» 12) le milieu de la base de la cycloïde, Aune de ses extrémités, CD le diamètre du cercle générateur, O son centre 5 le triangle ADC sera équivalent au cercle générateur. Pour évaluer le segment ASD, soient deux points quelconques T, T' équidistants de A et C ; M , M' les points de la courbe correspondants aux points de contact T, T^ du cercle générateur . avec la base , on aura, d'après l'égalité des arcs de cercle MT, M'Tj,

HT = H'T, = DP', IH = i' H'; donc

MI -f- M'r =r MH 4- M'H' = NN'.

La somme des deux cordes MI, MT du segment ASD, équidistantes de la parallèle LOU à la base , étant égale à la corde NN', il s'ensuit que, si l'on partage AC en parties infiniment petites par des couples de points dans les mêmes conditions que T, T^, le segment ASD pourra être considéi'é comme limite de la somme de rectangles ayant pour bases les différentes cordes telles que MI, MT, et pour hauteur lès distances de deux consécutives, et la somme de deux rectangles quelconques équidistants de la droite UL' sera égale au rectangle du cercle O, compris entre NN'et la corde infiniment voisine correspondante à celle qui suit MI. Or la somme de ces derniers rec-* tangles a pour limite le demi-cercle LCL' ; donc le segment^ ASD est équivalent au demi-cercle générateur, et l'aire de la demi-cycloïde vaut une fois et demie celle de ce cercle. Donc l'aire de la cycloïde est triple de celle du cercle générateur.

DBS QUANTITÉS CONSIl>ÉB££S COMME LIMITES.