CHAPITRE IX

comment les volumes des corps peuvent etre

considérés comme limites de sommes

d'infiniment petits.

39. Solides de rév^olution, — Supposons une surface plane quelconque tournant autour d'un axe AX {fig* i3) situé dans son plan , el proposons-nous de calculer la portion du volume engendré, qui sera comprise entre deux plans quelconques perpendiculaires à AX. Ces plans peuvent être considérés comme engendrés par des ordonnées MP , NQ \ les deux surfaces courbes qui terminent le volume à mesurer sont engendrées par des arcs de courbes données MN, M'N', et ce volume est la diâerence de deux autres engendrés respectivement par les quadrilatères MNPQ, M'N'PQ. Bornons-nous donc au calcul d'un quelconque de ces derniers, par exemple celui qu'engendre MNPQ.

Décomposons ce volume au moyen d'une suite de plans perpendiculaires à Taxe, infiniment voisins les uns des autres^ et substituons à ces éléments, dont la somme est constamment égale à ce volume même , d'autres éléments d'une espèce plus simple et tels , que le rapport de chacun d'eux à son correspondant ait pour limite l'unité. La limite de la somme de ces nouveaux éléments indéfiniment décroissants sera , d'après le principe fondamental , la valeur exacte du volume à mesurer. Soient R, R' deux points quelconques de MN, correspondants à deux plans sécants consécutifs, S, S' leurs projections sur AX \ on peut sup-

poser SS' assez petit pour que les ordonnées varient dans un même sens, en passant de R à R' -, d'où il suit que les deux rectangles RSS'I et R'S'SI' engendreront autour de AX des cylindres dont l'un sera plus petit et l'autre plus grand que la partie du solide proposé , comprise entre les deux plans sécants. Or le rapport de ces deux cylindres de même hauteur est égal à celui de leurs bases ou des carrés de leurs rayons RS , R'S' ^ et à mesure que S' se rapproche de S, le rapport des ordonnées RS, R'S' se rapproche de l'unité, ainsi que celui de leurs carrés. Donc la limite du rapport des deux cylindres est Tunité; et il en est de même à plus forte raison pour le rapport d'un quelconque de ces cylindres au volume intermédiaire qui est l'élément exact du volume cherché.

Donc le volume engendré par MNPQ est la limite d'une somme de cylindres ayant pour hauteurs les parties infiniment petites dans lesquelles on décompose PQ, et pour rayons de leurs bases, les ordonnées de IMÇV correspondantes aux points de division de PQ.

Ces cylindres pourront être pris tantôt intérieurs, tantôt en partie extérieurs , sans que la limite de la somme soit changée, puisqu'ils satisfont toujours à la condition unique qu'ils doivent remplir.

Si l'aire génératrice n'est pas terminée à l'axe AX, mais à une seconde courbe M'IN ', le volume engendré sera la dilfférence de deux autres qui rentrent dans le premier cas. On pourra aussi le considérer comme la limite de la différence des deux sommes de cylindres, ou de la somme des différences des cylindres élémentaires correspondants. Cette proposition générale s'exprime par la formule suivante dans laquelle V désigne le volume, et Y, y les ordonnées des deux courbes pour une même abscisse jr ,

V=7rlim.2{Y'— r')/'.

DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉKS COMME LIMITES. 6â

40. Solides terminés par des surfaces quelconques, — On concevra encore un système de plans parallèles, à des distances infiniment petites les unes des autres, et tels, que le solide entier que Ton veut mesurer soit compris entre le premier et le dernier 5 puis on cherchera à substituer à la partie comprise entre deux plans consécutifs quel* conques un solide d'espèce plus simple et qui n'en diffère que d'une quantité infiniment petite par rapport k elle. Or, s'il arrive qu'en menant par tous les points du contour d'une des deux sections, des parallèles à une même direction jusqu'au .plan de l'autre, la projection ainsi effectuée de la première courbe soit tout entière comprise dans la seconde , le cylindre ainsi formé sera tout entier compris dans la tranche du solide située entre les deux plans. Au contraire, le cylindre formé par des parallèles à la même direction menée du contour de la seconde section au premier plan, renfermera entièrement cette même tranche. Mais le rapport des deux cylindres de même hauteur est égal à celui de leurs bases , lequel tend indéfiniment vers l'unité à mesure que la distance des deux plans tend vers zéro. Donc le rapport des deux cylindres, et, par suite, de la tranche du solide à l'un qiielconque d'entre eux, a pour limite l'unité, ou, en d'autres termes, chacun de ces cylindres diffère de l'élément exact du solide, d'une quantité infiniment petite par rapport à cet élément. Donc enfin le volume proposé est limite d'une somme de cylindres ayant pour bases les sections du solide par des plans parallèles infiniment voisins , et pour hauteurs les distances de ces plans.

Ce premier cas est celui de tous les corps auxquels Archimède a appliqué ce procédé dont on lui est redevable.