APPLICATION A LA MESURE DE QUELQUES VOLUMES
Solides de révolution.
42. Paraboloïde de réi^olution, — Une parabole tournant autour de son axe AX {Jig. i4) , on demande le volume engendré par l'aire comprise entre un arc quelconque AB, l'ordonnée BC et l'axe AC.
Soient a, b les coordonnées de B, et j* =^ ^px l'équation de la parabole \ partageons AC en un nombre n indéfiniment croissant de parties égales a. Le volume cherché sera la limite d'une somme de cylindres ayant pour hauteur a , et pour bases les cercles ayant pour rayons les différentes ordonnées MP de la parabole menées par tous les points de division de AC. L'expression générale du volume d'un de ces cylindres est 7rj*a ou uiipxa]
leur somme ip'Lxoi a pour limite ipn — ou pT:à^. (Voir
On peut donc dire que ce volume est égal à celui d'un cylindre qui aurait pour base le cercle dont le rayon est AC, et pour hauteur le demi -paramètre. On peut encore donner une autre forme à l'expression précédente, en y
remplaçant /?a par son égal —j elle devient j et est
égale à la moitié de la mesure du cylindre qui aurait BC pour base et AC pour hauteur, ou à trois fois la moitié du cône qui aurait même base et même hauteur. C'est sous cette dernière forme qu'Archimède a présenté cette proposition.
43. Segment d* ellipse tournant autour de sa corde, — Soient une ellipse ayant pour équation
D'D {fig* i5) une corde parallèle à Taxe B'B, 2/ sa longueur, d sa distance AE au centre, et A Taire du segment DCD' qui tourne autour de sa corde fixe DD' ^ proposonsnous de mesurer le volume engendré V. Nous le considérerons comme limite de la somme des cylindres qui auraient pour hauteurs les subdivisions infiniment petites égales de D'D, et pour bases les cercles ayant pour hauteurs les perpendiculaires MQ abaissées sur DD' par les différents points de l'arc D D', qui correspondent aux points de division de DD'. Soient n le nombre des points de division de DE et a. leur distance^ la mesure d'un quelconque des cylindres infiniment petits sera '
7r(j — rf)'a ou 7r(y' — 2 rf/ -f- t/^ ) a ,
et leur somme peut se décomposer comme il suit ,
ou , remplaçant j* par i* ,
17 {b^ -{- d^) la, r- 2A-»a — Undlj'a),
Or
la = :iij lim.2ja = A;
et , d'après la remarque du n° 35,
lim.Sar'a =-«-•
On aura donc
V= 2izl{b^-^d^)'-l7:dA
^Ttb'l'
On aurait le volume de l'ellipsoïde tout entier en faisant dz=zo^ /=a, et Ton trouverait ainsi
et isi & = a, on a ^Tra' pour la mesure du volume de la sphère dont le rayon est a.
44. Folume du tore. — On appelle tore le solide engendré par un cercle qui tourne autour d'une droite extérieure, située dans son plan.
Soient O {fig» i6) le centre du cercle générateur, R son rayon , AO = a •, Téquation du cercle sera
et le volume est la lllnite de la somme des volumes engendrés par les rectangles MINIK, qui sont les différences des cylindres infiniment petits engendrés par les rectangles QI, QK. L'expression générale de cette différence est
» (qn' — Qm') mi = 7r(QN -h QM) (QN - QM)MI = 27ra.MN.MI = 27rû.MIKN.
Or la limite de la somme des rectangles MIKN est Taire du' cercle. Donc le volume du tore est égal à la surface du cercle générateur multipliée par la circonférence déente par son centre.
45. Ellipsoïde de réi^olution. — Supposons qu'une ellipse tourne autour de son axe AB = 2 a (fig. 17) , et proposons-nous de calculer le volume du segment détaché par un plan perpendiculaire à cet axe, mené à une distance AD = ^ du sommet A.
Soit Téquation de Tellipse rapportée au sommet A
DES QUANTITES GOlTSIDlBAésS GOMME LIMITES. 69
le volume sera la limite de
Soit n le nombre des points de divisio de ÂD, on aura
on retombe ainsi dans des calculs qui se sont déji plusieurs fois présentés, et Ton trouvera (n** 35 )
d'où
lini. 2jpa = — , lim. 2a?*a = — j 2 3
Km. 2(2/10: — X*) a = ««?»— ^ = <3?* ^ 5 -'.
On aura donc pour expression du volume cherché V,
Ce résultat coïncide avec celui d'Archimède. En effet, il énonce la proposition de la manière suivante :
Le segment de Tellipsoïde est au cône de même base et même hauteur, comme le demi-axe de rellipsoïde ajouté à la hauteur du segment complémentaire à Fellipsoïde est à la hauteur de ce dernier.
Dr 911 aperçoit facilement que les deux formules sont identiques.
