Hyperboloïde de réi^olution. — Soit l'équation
d'une hyperbole /* = — (.r* + 2 ax) rapportée à son
sommet A {fig» 18). Supposons qu'elle tourne autour de son axe transverse, et proposons-nous de calculer le volume V détaché par un plan perpendiculaire à Taxe
^O LlYRE I.
mené à une distance AD = d. Il est la limite de S îrjr* a ou de --- 2 (x* -h 2 ax) a.
Or on a, d'après le n° 3S déjà cité plusieurs fois,
Donc
Archimède , dans la solution qu'il a donnée de ce problème, cherche le rapport du segment de Thyperboloïde au cône de même base et même hauteur, et parvient à la formule suivante , qui donne le même résultat :
Le volume du segment est à celui du cône de même base et même hauteur, comme la hauteur du segment, plus trois fois le demi^axe transverse,' est à cette mên^e hauteur augmentée de Taxe transverse.
47. Remarque. — Si une surface dont Faire est A tourne successivement autour de deux axes fixes parallèles U, V [fig* 19), situés dans son plan, les volumes engendrés auront pour différence le produit de l'aire A par la circonférence dont le rayon est la distance J des deux axes.
En effet, soit une perpendiculaire quelconque QPMMaux axes, qui coupe ceux-ci en Q, P, et la courbe en M , M'. Soient MP = x,W P == a:', MQ r= X , M'Q = X'5 a la distance de QM' à la parallèle infiniment voisine.
Les volumes engendrés autour des deux axes sont les limites des deux sommes suivantes :
7rS(y='-"j;^)a, TrZfX'''— X»)a,
et comme ou a
DKS QUANTITÉS CONSIDÉEEES GOUME LIMITES. 71
il s'ensuit
X'» — X» = a;'» — ^'+2c/(x' — ^); donc la différence des deux sommes est 2 tt fi?2 (a/ — x) a
Mais S MM', a a pour limite l'aire A; donc la limite de la différence des deux sommes, ou la différence de leurs limites, et, par conséquent, des volumes engendrés, est a TT rf A , comme nous l'avions annoncé.
48. Folumes engendrés par des paraboles ou hyperboles d'ordres quelconques, — Considérons le volume engendré par la révolution autour de l'axe des x^ d'une courbe représentée par l'équationy = pa:"*, dans laquelle on suppose m quelconque en valeur et en signe, et qui peut, par conséquent, représenter des paraboles ou hyperboles de tous les ordres.
Le volume compris entre deux plans perpendiculaires à Taxe X et correspondants aux abscisses a, a' sera la limite de Srry'a, a représentant une quelconque des subdivisions infiniment petites de l'intervalle a' — a. En substituant à y sa valeur en a:, il faudra trouver 7r/?'lim. 2ar=''"a.
Or, d'après la remarque générale du n° 35 , on a, entre les limites a^ a* ^
lim.2a?*"a =-
Le volume cherclié a donc pour mesure
On l'obtient donc en divisant par 2 m -h 1 la différence des deux cylindres ayant pour bases les deux bases mêmes du solide à évaluer, et pour hauteurs les abscisses correspondantes.
Solides non de révolution.
49. Segment d^ ellipsoïde. -^ Rapportons la surface à des axes parallèles à un système de diamètres conjugués dont l'un passe par le centre de la base du segment. Prenons ce dernier pour axe des x^ et pour origine l'extrémité qui appartient au segment. L'équation de l'ellipsoïde sera
z' 1^* 7,ax — x'
Soit AD = d [fig. 2o) l'abscisse du plan de la base du sjBgment qui est parallèle au plan YZ. Nous considérerons le volume du segment co^^ne limite de la somme de cylindres ayant pour bases des sections parallèles à YZ et pour hauteurs les distances infiniment petites de ces plans successifs . Une quelconque de ces hauteurs s'obtiendra en multipliant la partie oc correspondante de Taxe AX par le sinus de l'angle 9 que ce diamètre AX de l'ellipsoïde fait avec le plan COB des deux autres conjugués. L'aire de la section MPN correspondante à un X quelconque AP sera ir . MP . PN sin (p , (p étant l'angle des diamètres OB, OC. En remplaçant IVÎP, NP par leurs valeurs en x^ on trouvera pour expression d'un quelconque des cylindres élémentaires ,
— -- sm9 sinep.(2ârj: — «c'ja.
Le volume cherché V peut donc être représenté comme il
suit :
V = — ^sinO sinœ.lim.^ [lax — a:') a,
lorsque x passe de o à /i par degrés , égaux ou inégaux , mais infiniment petits, représentés par a.
On aura encore, comme précédemment, d'après le n«35,
> ( 2 flf.r — j;-) a = — ^ — ' ••
DES QUANTITÉS GONSIOiLrÉES COMHE LIMITES. 78
et , par conséquent ,
(0 V = ^-- ^'smôsm©.
ôa
Si Ton suppose c? = 2 a , on aura pour expression du volume entier de l'ellipsoïde ,
^ itabc sinO sin^,
ce qui peut être traduit de différentes manières, en observant que abc sinô sinç mesure le volume du parallélipipède construit sur les trois demi-diamètres conjuguas , et que tt&c siiiQ. 2a sinff mesure le cylindre circonscrit à l'ellipsoïde, ayant les arêtes parallèles à AX, et ses bases parallèles à YZ. Une des conséquences de l'expression précédente est que ce parallélipipède et ce cylindre ont leurs volumes constants, quel que soit le système des diamètres conjugués. *
L'expression (i) comparée à celle du volume du cône ayant même base que le segment , et son sommet en A , donne un énoncé semblable à celui qu'Archimède a fait connaître dans le cas de l'ellipsoïde de révolution.
On trouverait des résultats analogues aux précédents pour les byperboloïdes et paraboloïdes quelconques ^ nous ne croyons pas utile de nous y arrêter.
50. Onglet cylindrique. — Considérons un cylindre droit dont la base soit le cercle ABC {fig. 21) -, par un de ses diamètres AB, menons un plan quelconque qui coupe la surface du cylindre suivant l'ellipse ABD , et proposons-nous de calculer le volume de l'onglet compris entre ABD et'ACB.
Supposons le rayon OC perpendiculaire à AB •, D. le point de rencontre du plan sécant et de l'arête menée en C ; soient OC = R , CD = h.
Suivant la méthode générale, nous regarderons le volume comme limite d'une somme de cylindres ayant pour bases un système de sections parallèles, et nous prendrons ces plans perpendiculaires à AB.
Soit MPQ un quelconque de ces plans-, faisons AP = x^ PQ = y, on aura
/'= 2Rar — x^ et MQ : y \\ CD : OC, d'où
La section MQP a donc pour mesure •
-~9 OU ----(2Rar — a:').
Si donc nous désignons par a la distance infiniment petite du plan de cette section au suivant, le volume cherché V aura pour mesure
et comme 2R' est le rectangle circonscrit à la base ABC de l'onglet , le volume de ce dernier est égal à celui de la pyramide qui aurait ce rectangle pour base et son soïnmet en D.
DES QUANTITÉS CONSIDEREES COMME LIMITES. ']5t
