Q COS
-/nsin&>cosO =
sinw,
et
,par
suite ,
tangb) :
m s\nQ
1 H- m ces ô
et , si les axes sont rectangulaires ,
tang (^ = m =z lira, j-
Il est inutile de faire remarquer qu'il faut avoir soigneusement égard aux signes des accroissements MH, M'H, sans quoi la sécante MM' et sa limite ne seraient pas du côté où elles doivent être par rapport à MH.
63. Coordonnées polaires, — Soient O le pôle (Jig- 24), OX l'axe 5 M un point donné sur une courbe dont on a l'-équation, et dont les coordonnées sont 9 et r^ M' un point infiniment voisin*, h et Ji les accroissements de 0 et r en passant de M à M' : la tangente en M sera la limite de la sécante SMM', et peut être déterminée par la limite de l'angle OMS, qui est la même que celle de MOM', puisque la différence de ces deux angles est MOM' qui tend vers zéro, éoit o) cette limite ou l'angle que fait la tangente avec OM. Décrivons de O avec OM pour rayon l'arc MH, et joignons MH; le triangle MHM' donnera
sinHlVrM__MH
sinHMM'~~HM''
Observons maintenant que l'angle HM'M a pour limite a>^ que l'angle H a pour limite un angle droit, puisque l'angle en O du triangle isocèle HOM a pour limite zéro 5 que, par conséquent, la somme des deux angles en M, M' dans le triangle MHM' a pour limite un angle droit, d'où il résulte que les limites de ces deux angles sont complémentaires. D'après cela, en égalant les limites des deux membres de l'équation précédente, on aura
sin » __ ,. HM cosw " HM'
Or on peut, d'après le principe fondamental des infini-
ment petits, remplacer HM par toute autre quantité dont le rapport avec HM ait pour limite l'unité-, et on a vu, dans la Trigonométrie, que le rapport d'un arc in- . animent petit à sa corde a pour limite l'unité. On peut donc remplacer la corde HM par l'arc dont la valeur est rh , et l'équation précédente devient
tangiw =: hm. -j- = rhm. 7 = 7*
hm. -7
Le problème des tangentes, dans un système de coordonnées polaires, est donc encore ramené à la recherche de la limite du rapport de deux infiniment petits, dépendants l'un de l'autre, au moyen de l'équation de la courbe, et qui sont les différences des coordonnées de deux points infiniment voisins de la courbe.
64. Troisième système de coordonnées, — Supposons maintenant les points déterminés par leurs distances à deux points fixes A, B [fig» 25) ; soient M le point où l'on veut mener la tangente, et dont les deux coordonnées seront AM = r, BM = r'; M' un point infiniment voisin ayant pour coordonnées /* -H A , r' -+- A^ ; la tangente sera la limite de la sécante MM', et peut être déterminée , par exemple, par les angles c«), w' qu'elle forme respectivement avec MA , MB.
Ayant pris MH = h , MK = h dans le sens qui convient au signe, et décrivant de A et B comme centres avec les rayons AH , MK des arcs de cercle , ils se rencontrent en M'. Si l'on joint M'H, M'R, les angles K et H auront chacun pour limites un angle droit, puisque les arcs KM', HM' tendront vers zéro j les angles formés par MM' en M' et en M auront, par suite, des limites complémentaires 5 ces limites pour les angles en M ont c'ié désignées par w, w'.
Cela posé, on aura
KM sinMM'K HM sinMM'H
d'où
MM'
sinK '
MM'
sinH
sinMM'H
sinK
sinMM'K
sinH
en prenant les limites des deux membres ,
COSW
cosw'"
= hm.-.
Les angles w, w' de la tangente avec MA, MB sont donc
déterminés dès qu'on connaîtra Hm. - 7 puisque leur somme
est connue.
Le problème des tangentes est donc encore ramené, dans ce nouveau système, à cherclier la limite du rapport des (Jifférences infiniment petites des coordonnées de deux points de la courbe.
65. Au lieu de déterminer par le calcul les angles w, a>', entre lesquels on a deux équations, on peut facilement construire la tangente d'après Téqua lion (1). En effet, si Ton prend sur MA et MB, ou sur leurs prolongements,
deux longueurs MS, MK ayant un rapport égal à lim. -^
qu'on élève en S et R des perpendiculaires sur AM , MB, et qu'on joigne leur point de rencontre I à M , la droite IM sera la tangente, car les cosinus des angles IMS, IMR auront pour rapport
MS ,. h
-— ou hm. -•
On aurait pu arriver directement à cette construction sans passer par le calcul des angles a), w', et par des con-
90 LIVBE 1.
sidéralions qui se retrouvent souvent dans l'emploi des infiniment petits en géométrie.
Sur le rayon AM prolongé [fig^ 26), prenons une quantité constante MP5 menons PS parallèle à M' H jusqu'à la rencontre de MM' en S ; menons ensuite SQ parallèle à M'K; le quadrilatère MPSQ sera semblable à MHM'K,etronaura
MP:MQ :: mh : mk :: h :k.
A mesure que h elk tendent vers zéro, MQ tend donc vers la valeur finie dont le rapport à MP est la limite
de -T- La sécante MM' étant toujours dans la direction de
la diagonale MS, la tangente sera la limite de cette direction, c'est-à-dire celle de la diagonale du quadrilatère limite de PMQS. Or les angles P et Q de ce quadrilatère, étant égaux respectivement à H et K , ont pour limites des angles droits. On construira donc facilement le quadrila-
tère limite quand on connaîtra la limite de - ou de j ^
car on en déduit immédiatement la limite MR de MQ. Il suffit ensuite d'élever en P et en R des perpendiculaires à AM, MB, et de joindre leur point de rencontre I au point M : cette dernière ligne sera la tangente. Cette cqjistruction, obtenue par des considérations différentes, ne diffère pas de la précédente.
66. Autre système de coordonnées . — Supposons actuellement que les points soient déterminés par leur distance à un point fixe O {fig* 27), et une abscisse ou une ordonnée par rapport à une ligne fixe quelconque passant parO. Soient A l'origine des abscisses, AP = a:, PM=j^, OM = r; le point quelconque M sera déterminé par x et r, ou y et r.
DES QUANTITE CONSIDÉftlÊES GOMME LIMITES. 9I
Cela posé, M étant un point quelconque d'un lieu, déterminé par une relation entre ces coordonnées, on demande de trouver la direction* de la tangente en ce point.
Soient MK=ft, PP'=A les accroissements correspondants de r et a: pour passer à un point voisin M' du lieu, et qu'on portera dans un sens ou dans l'autre, suivant qu'ils seront positifs ou négatifs. Dans le quadrilatère MHM'K , l'angle K tendra vers un angle droit en même temps que h et h vers zéro, et la diagonale MM' vers la tangente.
Nous nous bornerons ici à l'un des procédés employés dans le cas précédent. Nous prendrons PR constant^ par le point S de la sécante correspondant à l'abscisse AR , menons les droites SQ, ST parallèles à M'K, M'H : le quadrilatère MQST sera semblable à MKM'H, et la limite de la direction de sa diagonale MS sera la tangente cherchée. Or on pourra construire le quadrilatère limite si Ton connaît la limite de MQ , PR ou son égal TS étant constant; et comme on a
