MU MV

MB sin^ sin "MA sin/i sin

V sina sinX^ U sin 6 sin^

sinV sinU

Or les angles V et U ayant pour limite l'angle AMB, on a

sinV smU

de plus

,. sin^ ,. k hm. -; — - = lim. Tî sin ^ h

puisque le rapport d'un angle infiniment petit à son sinus a pour limite l'unité. On a donc

,. MU sina ,. k MP

donc enfin le problème est encore ramené à la recherche de la limite du rapport des différences des coordonnées de deux points infiniment voisins du lieu. Quand on l'aura trouvée, on connaîtra MI, et par les points P et I on mènera des parallèles à MA , MB , qui par leur rencontre détermineront un point de la tangente.

On pourrait procéder d'une autre manière , et calculer les angles de la tangente avec les rayons vecteurs ou les limites des angles VM'M, MM'U. On a, en effet,

sinVM'M MV sinMRfU MU sinV ~MSr' sinU "~MM''

d'où

sinVM^M sinV MV

sinMM^U~sinU*MU'

or -7—1 a pour limite i -, donc , en appelant x^y les angles de la tangente MT avec MA , MB , on aura

sinar ,. MV sin6 ,. h -; — = hm. — - = -r— lira, y, smj MU sina k

et, comme la somme x -\^y' est connue, le problème est

résolu dès que Ton connaît la limite du rapport j.

De Vexistence des tangentes en général, 68. Nous venons de passer en revue un assez grand

94 LIY&E I.

nombre de systèmes de coordonnées , dont quelques-uns ne sont presque jamais employés , et nous avons reconnu que, dans tous les cas, le problème des tangentes était ramené à la recherche de la limite du rapport de deux quantités infiniment petites. Le nombre des systèmes que Ton pourrait employer pour la détermination des points sur un plan est illimité , et , par les cas variés que nous avons considérés, nous avons voulu faciliter les recherches auxquelles d'autres cas peuvent donner lieu. On cherchera toujours à ramener la direction de la sécante à dépendre d'infiniment petits quelconques , dont il soit possible de calculer la limite du rapport, soit que les points du lieu soient déterminés par une équation, soit qu'on connaisse la loi de leur génération sans en avoir déduit l'équation entre les coordonnées.

Mais, avant d'aller plus loin, il est à propos de s*assurer que le problème dont nous nous occupons a généralement une solution; c'est-à-dire qu'en tout point d'une courbe déterminée par une équation , ou par une loi de construction qui pourrait conduire à une équation entre des coordonnées de nature quelconque, il existe une tangente. En d'autres termes, il faut démontrer que lorsque deux variables dépendent Tune de l'autre, le rapport des accroissements infiniment petits correspondants de ces variables a en général une limite-, car c'est à ce problème de calcul que nous avons ramené le problème géométrique.

Cette proposition importante peut être établie simplement, de la manière suivante.

Théorème général.

69. Soit y une fonction quelconque d'une variable x^ assujettie seulement aux conditions suivantes : i** que, lorsqu'à partir d'une valeur quelccmque on donne un

DES QUANTITES CONSIDI^RÉES GOMME LIMITES. 96

accioîssement A à j: , il en résulte un accroissement unique h de j, qui tende vers zéro , si Ton fait tendre h vers zéro ; 2° qu'à partir de toute valeur de x on en puisse prendre une autre qui en diffère d'une quantité finie déterminée, telle que si x varie dans le même sens dans tout l'intervalle compris entre elles , y varie constamment dans un même sens , c'est-à-dire toujours en augmentant ou toujours en diminuant.

Cela posé, il est facile de démontrer que, sous ces conditions, pour toute valeur de x il existe une limite finie pour le rapport des accroissements infiniment petits correspondants h et k : c'est-à-dire qu'il ne peut y avoir que des valeurs exceptionnelles de x pour lesquelles ce rapport croisse ou décroisse indéfiniment.

En effet , soient Xq , X deux valeurs de x satisfaisant aux conditions ci-dessus indiquées ^ yo 9 Y les valeurs correspondantes de y 5 partageons l'intervalle X — ar© en n parties égales, que nous désignerons par A, et soient Ai , /rg , A3 , . . . , /r„ les valeurs correspondantes des accroissements positifs de y^ on aura

X — Xo = nh, Y — /o = ^1 -♦- A-2, . . . , X„ ;

d'où résulte

Y - 7o /i h^ ^ h X — jcq n

c'est-à-dire que le rapport invariable des accroissements finis de x et de ^, quand on passe de Xo à X , est la

moyenne arithmétique des rapports -^ ^ T ' * * * ' T '

quel que soit le nombre entier n.

Si maintenant on fait croître n indéfiniment, les termes de ces rapports tendront vers zéro, et leur moyenne arithmétique étant toujours égale à la quan-

g6 LIVEE I.'

tité finie — ^ » il est impossible qu'ils tendent tous

vers zéro, ou qu'ils croissent tous indéfiniment.

Cette conclusion , relative à l'intervalle X — x^^ pouvant être appliquée à toute partie de cet intervalle, il s'ensuit qu'il est impossible que, dans aucun intervalle

fini , la valeur de 7- tende vers zéro ou croisse indéfini-

ment pour toutes les valeurs de x. Ce n'est donc que pour des valeurs exceptionnelles et en nombre limité

que - peut ne pas avoir une valeur finie : ce que nous

voulions établir.