Nous avons supposé dans ce raisonnement que

=^ avait une valeur finie. En ne s'assujettissant pas

à cette condition , voyons s'il est possible que toutes les

valeurs de -z tendent vers zéro ou croissent indéfinih

ment.

Si tous les rapports tendent vers zéro , leur moyenne y tendra nécessairement, et comme elle est constante, elle ne peut être que zéro 5 donc Y — j^o = o ou Y = j^o- Et comme il en sera de même si Ton considère l'intervalle entre x^ et toute autre valeur choisie entre j:^ et X, il en résulte que toutes les valeurs de y correspondantes aux valeurs de x comprises entre x^ et X sont égales à yo« La fonction désignée par y ne serait donc autre chose qu une constante , et l'on voit alors que non-seulement T tendra vers zéro , mais qu'il sera toujours

rigoureusement nul. Le lieu en question serait donc une droite parallèle à l'axe des x , si a: et y sont des coordonnées rectilîgnes.

bES QUANTITES CONSIDÉRÉES GOMME LIMITEE. 97

Sî maintenant tou^ les rapports -j croissaient Sanè li-

nïites 5 les rapports réciproques -j tendraient tous vers

zéro, eit le ïîeu représenterait une droite parallèle à l'axe

des j \ auquel cas tous les rapports - seraient rigou-

k reusement nuls, et Ton dirait que les rapports -r sont

tous infinis.

Si donc le lieu ne renferme aucune portion de ligne droite parallèle à l'un des axes , il y aura une limite finie pour le rapport des accroissements infiniment petits correspondants A, /r, à l'exception peut-être de certaines valeurs particulières àe x\ et par conséquent en tous les points d'une courbe il existe en général une tangente.

Les cas exceptionnels où la limite de j serait nulle

ou infinie correspondraient, dans un système de coordonnées rectilignes, aux points où les tangentes seraient parallèles à l'un ou à l'autre des axes^ cela résulte de la

signification géométrique de la limite de j dans un

pareil système.

Dérii^ées des fondions .