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122 f^IVRE I.
d'où il est facile de déduire les cordonnëes x, / du point M , car on a
donc
et Ton aura l'équation entre j:, y en éliminant AM , AN
entre ces deux équations et la suivante AM 4- AN = m*. On trouve immédiatement
qui est Téquation du lieu demandé.
92. Il peut se faire que les considérations géométriques soient moins commodes que le calcul algébrique , et voiçî la marche qu'il faut suivre alors.
L'équation générale des droites données renferme un paramètre qui change de Tune à l'autre. Soit a ce paramètre; cette équation sera donc de la forme
F ety* désignant des fonctions connues.
Changeant a en a + A ? on aura l'équation d'une droite voisine , qui sera
l'abscisse du point de rencontre sera donc donnée par l'équation suivante :
a: [F (« -h /i) - F (fl)] -h/(« -¥ h) -f[a) = o. Il faut maintenant faire tendre h vers zéro et chercher
DBS QUANTITES GOHSIDÉHiXS GOMME LIMITES. 123
la limite de x^ ce sera l'abscisse du poÎBt cherché , et réquation de la droite fera connaître par suite l'ordonnée. Mais si on laissait Péquation sous cette forme, elle n'apprendrait rien en prenant les limites de ces deux membres , puisqu'on ne trouverait autre chose que 0 = 0. Le plus ordinairement il est facile de voir les réductions qui s'opèrent par les soustractions indiquées , et on reconnaît un facteur commun h à tous les termes ; en le supprimant et passant aux limites des deuiTmembres , on obtient alors la valeur limite de x. Mais rien n'est plus facile que de formuler le résultat en général. En effet ^ si l'on divise par h tous les termes de la dernière équation , et qu'on prenne ensuite les limites, ou trouvera, d'après la définition de la notation des dérivées des fonctions,
j;F'(fl)-h/'(fl) = o.
Cette équation jointe à la première j^ = »r F (a) + F (a) , détermine les deux coordonnées du point du lieu, et réquation du lieu lui-même résultera de l'élimination de a entré ces deux équations. Si , pour la facilité des calculs, on ne réduisait pas à l'unité le coefficient dej^,^ on aurait trois fonctions de a au lieu de deux , et Ton procéderait d'une manière tout à fait semblable.
Prenons , par exemple, le cas traité précédemment, où les droites mobiles jouissent de la propriété de déterminer sur les côtés d'un angle YAX des segments dont la somme soit égale à une constante a.
Si l'on désigne par ol le segment de l'axe des x, l'autre sera a — a , et l'équation générale des droites
ay -\- [a — a ) j: = a (a — a) ;
changeant a en a -|- A, il vient, en retranchant les deux équations membre à membre ,
y h — xh = ah — 2 ah — h^ ,
124 LIVAK I.
OU , en divisant par A ,
Cette équation, conjointement avec la première , détermine le point de rencontre qui varie avec h. On aura sa limite en supposant /t = o ; ce qui réduit la seconde équation à
et Ton voit que c'est comme si Ton avait pris les dérivées par rapport à a de tous les termes de la première.
L'élimination du paramètre a entre ces deux équations donne l'équation suivante :
qui est celle du lieu et coïncide avec celle qui a été trouvée dans le second exemple. Nous généraliserons ces théories par la suite; nous nous écarterions de notre objet en nous y arrêtant plus longtemps.
