CHAPITRE XVI

remarques et théorèmes propres a faciliter l'emploi des infiniment petits.

i06. Des termes que Von peut négliger dans les équations. — Lorsque les deux membres d'une équation ont des limites finies et que ce sont ces limites que Ton a à considérer, on peut évidemment se dispenser de tenir compte des termes dont la limite est zéro, quoiqu'en les supprimant Téquation devienne inexacte. Gomme on ne cherche que l'équation aux limites et qu'elle n'est pas altérée par là , les résultats sont exactement les mêmes , et l'on s'est débarrassé quelquefois d'une multitude de termes très-compliqués. Ainsi toute suppression oualté^ ration quelconque qui n^a d'autre effet que de faire né^ gliger des termes infiniment petits dans une équation finale dont les deux membres ont des limites finies^ peut être faite sans aucune erreur dans les résultats,

107. Si les membres d'une équation avaient des limites égales à zéro, et se composaient dHnfiniment petits de différents ordres , par exemple du premier et d'ordres supérieurs, on peut, par la même raison, se borner à écrire les termes du premier ordre. En eflfet , une équation dont les deux membres ont pour limite zéro n'est pas destinée à rester sous cette forme, puisqu'elle conduirait à l'égalité insignifiante 0 = 0. On conserve souvent cette forme pour la commodité de l'écriture, mais on doit toujours en revenir aux quantités finies. Si c'est en divisant les

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deux membres par un infiniment petit du premier ordre, les termes d'ordre supérieur au premier conduiront à la limite zéro, ceux du premier à des limites finies, et l'on se retrouve dans le cas précédent. Si cette équation est employée pour donner l'expression d'un infiniment petit au moyen des autres, et que cet infiniment petit doive être un terme d'un rapport ou d'une somme dont on cherche la limite, on sait qu'on peut l'altérer, sans erreur dans les résultats, de quantités infiniment petites par rapport à lui-même. On a donc le droit de négliger, dans l'équation d'où l'on tire sa valeur, tous les termes d'un ordre supérieur au sien.

Il est évident que dans cette même équation on peut, au lieu des facteurs infiniment petits du premier ordre, substituer d'autres quantités dont le rapport avec eux ait pour limite l'unité, ou en difierenl de quantités infiniment petites par rapport à eux ; car ce n'est qu'ajouter ou supprimer dans les membres de l'équation des teimes d'ordre supérieur au premier.

Ces raisonnements s'appliquent également aux équations dont l'ordre le moins élevé est supérieur au premier. On peut généralement se dispenser d'écrire ceux d'un ordre plus élevé que le moindre.

Remarque. — H y a cependant une attention à avoir : il peut arriver que dans une équation non simplifiée il y ait des termes du premier ordre et d'ordres supérieurs , et qu'après avoir exécuté les opérations indiquées ceux du premier ordre se détruisent entre eux. Dans ce cas, si l'on a négligé des termes du second ordre , et que pour employer l'équation résultante on divise ses Jeux termes par un infiniment petit du second ordre, afin de ne pas arriver à o = o ^ ou que l'on tire de cette équation la valeur d'un infiniment petit du second ordre, qui doit entrer comme terme d'un rapport ayant une limite finie , il est évident

DES QUANTITÉS CONSIDÉREIëS COMME LIMITES. 1^5

que les résultats sont inexacts, puisque les termes supprimés y auraient introduit des quantités finies.

Si 5 par exemple , on avait l'équation suivante , dans laquelle h et k désignent des quantités infiniment petites du premier ordre ,

sin (.r -h /i ) — sin x -+■ cos{ je -4- X* ) — ces 7