X-sinj — /icosx-H AX^-4- Bh^ -|-CA=^ = o

et que dans les calculs précédents on eût négligé des termes qui feraient disparaître A A*, il y aurait erreur dans les résultats si l'on se servait de ceHe équation pour en tirer la valeur de A ou de ^ et la substituer dans une autre. Cela tient à ce que, non-seulement les quantités finies disparaissent de Téquation , mais en groupant convenablement les termes on reconnaît que tous- les termes sont du second ordre et que, par conséquent , on n'avait pas le droit de négliger A A*.

En effet,

sin (x 4- A ) — sin a: = 2 sin - ces ( x H — J 5

ces ( j -h ^' ) — cos / =.— ?. sin - sm ( j + - 1 ; donc sin (jT 4- A) — sinar — A cos^ =r 2 sin - cos ( x H — | — A cosx*

Mais , puisque sin - et - ont pour limite de leur

rapport l'unité, leur différence est infiniment petite par rapport à l'un quelconque des deux -, donc , en désignant par w une quantité infiniment petite, on a

sin - = — h w /' , 2 2

et, d'après ce qu'on a vu dans la trigonométrie élémen»- I. 10

taire, w est du second ordre ^ de plus, cos ( .r -h -j

diffère de cos x d'une quantité iuflnimeut petite du premier ordre, d'après le théorème général (n^ 71) 5 en la désignant par a , on peut poser

\x A — j = cos j: 4- a ;

- cos I >i: -h - I = 2 ( - -+- w // I ( cos X 4- a )

cos donc

3 sin

= h cos X -f- 2 w A cos A'-hAa-f-2wAa.

En en retranchant h cos x^ il reste donc des produits de deux ou de trois infiniment petits , dont le plus grand est du second ordre. Il en serait de même de Tensemble des trois termes

cos ( 7 -f- ^ ) — cos 7 -h ^ sin jr .

Le premier membre de l'équation pouvant ainsi être considéré comme composé de termes du second ordre et d'ordres supérieurs , si l'on néglige des termes du second ordre, qu'on divise ensuite par A*, ou par tout autre infiniment petit du second ordre, et qu'on passe aux limites , on aura une équation fausse, puisqu'il manquera des termes finis. Et , par la même raison , on n^aurait pu l'employer à donner la valeur d'une des quantité» qui y entrent.

Triangles infiniment petits.

108. 1^. Supposons un triangle ABC dont les trois angles tendent vers les limites a, 6, 7 et les trois côtés rt, i, c vers zéro. Les rapports des côtés auront pour limites les rapports des sinus des angles cl, è^ y.

UES QUANTITÉS CONSIDKEÉES COMME LIMITES. l47

Ainsi , par exemple, on a les équations exactes

a sin A . a sin a

6 sin B t SH) b

Mais il r>'y a aucun inconvénient à écrire

a sin a , sin a

0 sin 6 sm 6

si a est un terme d'un rapport ou d'une somme don!

I 1 I 1. . a 1* • sin a*

on cherche Ja limite: car -j ayant pour limite - — - en

o "^ ^ sin €

diffère d'une quantité infiniment petite w et l'on a

a sin a ^ sin a ,

-7 = -.— - -f- w OU a = . + 6w: 6 sm 6 sin 6

Ainsi en prenant, au lieu de a, la partie . ? on

néglige une quantité infiniment petite par rapport à a, ce quî^ dans la question supposée, ne donnera aucune erreur dans les résultats.

Or il y a souvent beaucoup d'avatitage à introduire ainsi les angles limites aux angles variables, comme nous le verrons par quelques exemples.

2°. Dans un triangle ABC dont l'angle A tend vers un angle droit et les côtés vers zéro , on peut calculer le côté c par la formule

au lieu de la formule exacte

lî' = 6^ -h c^ — ihc cos A .

Car cos A tend vers zéro , donc 2 bc cos A est infihiilleiit petit par rapport à sic, et, à plus forte raison, par rapport à ft* -h c', qui est toujours plus grand que afcc;

lût

l48 1.1 YBE ï.

Ainsi a* diffère de i* -f- c* d'une quantité infiniment

petite par rapport h lui-même *, ou encore jr a pour

limite Tunité.

D'où il suit que , a aussi pour limite Tunitë,

ainsi que toutes les «puissances de ce rapport.

On pourra donc substituer ^b* -+- c' à a toutes les fois que cette quantité sera un terme d'un rapport ou d'une somme dont on n'a à considérer que la limite.

109. Ordre infinitésimal de diverses lignes quon a souvient à considérer dans un triangle rectangle infiniment petit.

Soient A {fig- 45) l'angle droit du triangle^ABC, dont le côté AB ou c est infiniment petit du premier ordre, ainsi que l'angle B , AI la perpendiculaire abaissée de A sur l'hypoténuse. On aura

AG 3= c tang B , AI = c sin B , CI = c sin B tang B ,

et comme sin B et tang B sont du même ordre que B, puisque leur rapport à B a une limite non-seulement finie, mais encore égale à l'unité, il en résulte que AC et AI sont infiniment petits du second ordre, et IC du troisième.

Calculons maintenant la différence de l'hypoténuse au côté adjacent à l'angle infiniment petit,

BC — BA = -^ — c = -? ,

CCS B ces B

et comme sin - est du premier ordre, ainsi que c, il s'ensuit que BC — BA est du troisième.

Le segment CI étant aussi du troisième, on peut se proposer de trouver la limite de son rapport à BC — BA.

D'après les formules précédentes, ce rapport a pour valeur -• Mais la limite ne sera pas changée en suh^

2 sin' -

stituant à chacun de ces sinus Tare correspondant dont

le rapport à ce sinus est Tunité ; on trouve ainsi 2 pour

limite de -— ; de sorte que si Ton décrit de B comme

Kjd — AU

centre l'arc AH, — ■ tend indéfiniment vers -; et le point,

H peut être regardé comme le milieu de CI , à une quantité près infiniment petite par rapport à CI.

110. Triangle infiniment petit ayant un coté infiniment petit par rapport à un autre, — Soit BC (fig. 46) infiniment petit par rapport à AB ; en abaissant BI perpen-

BI BP

diculaire sur AC , — ou sin A sera plus petit que —

qui, par hypothèse, est infiniment petit •, il en sera donc de même de sin A, et par suile de Tangle A.

Quant au rapport t^' il ^ nécessairement pour limite

l'unité, puisque la différence de ses deux termes est moindre que le troisième côté BC , et que, par hypothèse, ^ ce dernier est infiniment petit par rapport à Tun des deux.

ConoLLAiRE. — L'angle CAB ayant pour limite zéro, il s'ensuit que si l'un de ses côtés tend vers une direction limite, soit que A reste fixe , soit qu'il se déplace, l'autre aura pour limite la même direction.

Et plus généralement, si par un mouvement quelconque, deux points A etB [fig* 4?) se rapprochent indéfiniment Tun de l'autre, de manière que la direction AB tende à être parallèle à une certaine droite fixe 5 que l'on con sidère deux points A', B' dont les distanc<'s respectives à

l5o LIVRE I.

A et B soient infiniment petites par rapport à AB : la direction A'B' tendra vers la même limite que AB. En effet, il a été prouvé que l'angle B' AB a pour limite zéro, puis-