CHAPITRE XIX

DÉPLACEMENT D'uNE FIGURE SUR UN PLAN. PRORLÈME DE LA ROULETTE : MÉTHODE DE DESCARTES POUR MENER LES TANGENTES AUX COURRES QU'ELLE DÉCRIT. GÉNÉRALISATION DE CETTE QUESTION. CENTRE INSTANTANÉ DE ROTATION.

141. Lorsque l'on consîdère sur un plan fixe une figure invariable qui se déplace d^une manière continue, suivant une loi quelconque, un point quelconque appartenant à cette figure ou lié invariablement à elle, décrit une courbe dépendante de cette loi , et dont les géomètres du XVII® siècle ont étudié un cas particulier. Leurs recherches ont fait faire des progrès à la géométrie, et le problème qui en a été l'occasion a conservé beaucoup de célébrité. Ils supposaient une courbe roulant sans glisser sur une autre supposée fixe, et ils se sont d'abord proposé de mener la tangente à la courbe décrite par un point lié à celle qui se déplace. Le premier cas qu'ils^ont étudié est celui du roulement d'un cercle sur une droite ; un point du cercle même décrit la courbe que nous avons nommée cycloîde^ et qu'on a d'abord appelée roulette.

Nous ne nous proposons pas de faire connaître les différents procédés employés dans cette recherche; nous nous bornerons à la méthode donnée par Descaries, comme la plus simple et la plus générale.

Concevons d'abord, au lieu de deux courbes, deux polygones ayant leurs côtés respectivement égaux , dont l'un soit fixe et l'autre se meuve de manière que les côtés égaux

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s'appliqueiil succcssivomenl les uns sur les autres. Un point lié au polygone mobile décrira une suite d'arcs de cercles dont les centres seront les sommets successifs du polygone fixe, et, par conséquent , la normale à l'un quelconque de ces arcs passera par le sommet commun aux deux polygones. Si maintenant on suppose que les côtés des polygones diminuent indéfiniment, de manière que ces polygones tendent à se confondre avec les courbes données, cette propriété de la normale en un point quelconque subsistant toujours, quelle que soit la petitesse des côtés, elle aura encore lieu pour la courbe limite de l'ensemble des arcs de cercle, c'est-à-dire pour celle que décrit le point lié à la courbe mobile. Donc on aura la normale en un point quelconque de ce lieu, en le joignant au point de contact correspondant des deux courbes. La tangente sera la perpendiculaire à cette ligne.

Telle est la mélliode de Descartes. Elle s'applique à des courbes quelconques.

Mais on risquerait de se tromper si on la suivait trop loin, par exemple pout* la détermination delà courbure 5 et il faut y regarder de très-près pour reconnaître que ce qui suffit pour la tangente , est insuffisant pour la courbure. C'est pourquoi nous allons reprendre la solution en mettant pl%s de rigueur dans les raisonnements.

142. Soient LU ( flg, 64) la courbe fixe j SS' la courbe mobile; M le point de contact pour une position quelconque de SS' ; A la position correspondante du point lie à SS', et qui décrit la courbe en question.

Prenons sur les deux coiubes données deux arcs infiniment petits égaux MM', MMj 5 les points M', Mi seront coin ci de n ts quand le point de contact des deux courbes sera M,, puisque, d'après la définition du roulement sans glissement, les arcs qui séparent des points de contact corres-

DES QUANTITÉS CONSIUtUtES COMME LIMITES. l8l

jK)ndams, pris sur les deux courbes, doivent èlre égaux. Pour amcuer le système mobile dans la position qu'il aura alors, on peut le faire mouvoir d'abord de manière que tous les points décrivent des droites égales et parallèles à M'Mj , ce qui amènera M' en Mi 5 puis, laissant le point M ' fixe en Mj, faire tourner le' système autour de ce point, de manière que la tangente en M' coïncide avec celle en M, . Dans ce dernier mouvement toutes les droites s'îuclineront, sur leur première direction , d'un angle égal à celui des tangentes en M' et M j, c'est-à-dire de la somme ou de la différence des courbures des deux arcs MM', MMj, suivant que ces courbures seront de spns contrai rç ou de même sens. Si donc nous menons AA' égal et parallèle à M'Mi, et que de Mt comme centre, avec un rayon égal à A'M,, qui n'est autre chose que AM', nous décrivions im arc de cercle A' Ai, tel que l'angle A'Mi Ai soit égal h celui des tangentes en M' et Mi-, Ai sera la position exacte de A , correspondante au contact en Mi : AAi sera donc la sécante au lieu décrit par A et la limite de sa direction sera la tangente cherchée.

Or les deux côtés MM', MMi du triangle rectilîgne MM' Ml ayant pour limite de leur rapport Tunité, et comprenant un angle infiniment petit, le troisième côté M'Mj est infiniment petit par rapport aux deux autres. De plus, Tangle des tangentes en M', Mi est généralement du premier ordre, même lorsque les courbures sont de même sens. Son égal A' M, Ai sera donc du premier ordre, et il en sera de même de la droite A' Ai, puisque A'Mi a une longueur finie. Donc dans le triangle AA'Ai, le côté AA' est infiniment petit par rapport à A' Ai ; par conséquent, l'angle Ai a pour limite zéro, et la direction delà sécante AAi a la même limite que celle de A' Ai. Mais cette dernière tend à faire un angle droit en A' avec la droite A'Mi dont la position limite est AM; donc enfin

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la limite de la direction AAi, ou la tangente cherchée, est perpendiculaire à AM.

Expression du rayon de courbure de la courbe décrite par un point lié à la courbe roulante, • 443. Une courbe donnée U'V (fig* 65) roulant sans glisser sur une courbe fixe UV, un point M lié à U'V décrit une courbe dont on demande le rayon de courbure en un quelconque de ses points.

Soient A le point de contact des deux courbes correspondant à une position quelconque M du point décrivant -, O, O' les centres de courbure de ces courbes, qui se rapportent au point A. On sait que AM sera la normale à la courbe décrite par M^ nous désignerons par n sa longueur AM, et par (f l'angle qu'elle fait avec la normale commune 00' aux deux courbes données.

Prenons sur ces courbes deux arcs infiniment petits égaux AN, AN'. Soit M' la position qu'aura prise M lorsque N' sera venu s'appliquer sur N 5 MN' viendra dans la position M'N \ elle sera la normale en M' : le point de rencontre X de M'N et MA sera, à la limite, le centre de courbure de la courbe en question-, et MX sera, à la limite, le rayon de courbure, que nous désignerons par p.

Dans ce mouvement, qui amène N' en N, et, par suite, la tangente en N' sur la tangente en N, toutes les lignes du système se sont inclinées d'un angle égal à celui de ces deux tangentes, ou de leurs perpendiculaires N'O', NO. Cet angle est O-f-O', et peut èlre regardé comme ayant pour mesure