DÉVELOPPÉES DES COURBES PLANES

13S. Si , sur chacune des normales à une courbe plane quelconque, on consîdère le centre de courbure correspondant, qui est la limite de la rencontre de cette normale avec une normale infiniment voisine, on obtiendra pour lieu de ces centres une courbe tangente à toutes les normales (n° 76). Cette courbe se nomme la déi^eloppée de la première, et celle-ci s'appelle la déi^eloppante de l'autre: Les développées jouissent d'une propriété remarquable, à laquelle elles doiv^t leur nom, et que nous allons faire connaître.

Soient M (fig- 6i ) un point quelconque d'une courbe , MO sa normale, O le centre de courbure, M' un point de la courbe distant de M d'une quantité infiniment petite du premier ordre, O' le centre de courbure correspondant; les deux droites MO, M'O seront tangentes a la développée aux points O et O'. Or, comme la longueur MO du rayon de courbure dépend de la position de M, ou de la longueur de l'arc de la courbe donnée, compté à partir d'une origine quelconque sur la courbe , on peut regarder MO comme une fonction de l'arc \ ain.si, d'après un principe posé précédemment, l'accroissement infiniment petit de MO, ou la différence M'O' — MO sera généralement de même ordre que MM '5 et de même l'accroissement 00' de l'arc de la développée sera de l'ordre MM', puisque l'arc de la développée est aussi une fonction de celui de la proposée.

Maintenant il est facile de reconnaître que la longueur de l'arc OO', et la différence des deux rayons de courbure

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MO, M'O' ne peuvent différer que d'une quantité infiniment petite par rapport à elles-mêmes.

En effet, élevons en M et O des perpendiculaires à MO, qui rencontrent la normale M'O' en T et H. La partie TM' est d'un ordre supérieur au premier, puisque MT est tangente et que la direction HT n'a pas pour limite celle de la tangente (n° 120). De plus la longueur HT ayant MO pour projection sur la normale avec laquelle sa direction fait un angle infiniment petit du premier ordre , la différence entre OM et HT sera infiniment petite du second ordre. Donc la différence entre M' H et MO sera infiniment petite d'un ordre supérieur au premier, puisqu'il en est ainsi de la partie TM', dont nous n'avons pas cherché à préciser exactement l'ordre.

Il suit de là que la différence entre M'O' et MO sera HO', à une quantité près d'un ordre supérieur au premier. Or l'arc 00' et la tangente O'H à la développée ont une différence du second ordre (n° 120) ; donc enfin OO' et M'O' — MO ne peuvent avoir qu'une différence infiniment petite par rapport à elles-mêmes ; et, par conséquent, si l'on considère la somme d'arcs infiniment petits 00' formant un arc fini déterminé de la développée, cet arc sera égal à la limite de la somme des accroissements successifs des rayons de courbure. Et, comme cette somme d'accroissements n'est autre chose que l'accroissement total, ou la différence des rayons de courbure extrêmes , on arrive à cette conclusion : Un arc fini de la déi^eloppee d'une courbe quelconque est égal à la différence des deux rayons de courbure de cette courbe^ correspondants aux deux extrémités de cet arc. Et cette proposition s' appliquant à toutes les grandeurs des arcs de la développée , s'applique évidemment aux arcs infiniment petits ^ d'où l'on voit que la différence entre OO' et M'O' — MO, que nous avions démonliée être d'un ordre

jrjS LIVRK I.

supérieui au premier, était rigoureusement égale à zéro.

136. Il suit de ce qui précède que, si Ton suppose uu fil flexible et inextensible appliqué sur la développée jusqu'à un certain point quelconque , à partir duquel il s'en sépare tangenliellement et se prolonge jusqu'au point où il coupera la courbe proposée-, qu'ensuite on développe la partie enroulée, en tenant toujours le fil tendu, son extrémité sera toujours sur la courbe donnée. Car l'accroissement de la partie rectiligne du fil tangent sera toujours égal à l'arc de la développée compris entre deux points de contact, ou à la différence des rayons de courbure correspondants 5 donc la partie rectiligne sera toujours la longueur même du rayon de courbure, et, par suite 5 l'extrémité sera toujours sur la courbe donnée. Le lieu des centres de courbure d'une courbe peut donc servir à décrire cette courbe par sou développement en ligne droite, et c'est de là que lui vient le nom de développée,

137. Déi^eloppée de la cjcloïde, — Soient M un point quelconque de la cycloïde {fig- 6i) , MN la normale, NMD le cercle générateur, R le rayon de courbure, on a

R = 2MN; on aura donc le centre de courbure O, relatif au point M, en prenant ]N0 = MN. Mais si au milieu I de la base on élève la perpendiculaire IB égale au diamètre 2 a du cercle générateur, et qu'on mène en B une parallèle BV à la base , le cercle décrit sur la perpendiculaire NC comme diamètre passera par O : l'arc NO sera donc égal à l'arc MN du cercle NMD, et, par suite, à la ligne AN. Donc OC == NI = BC. Donc le point O appartient à la cycloïde décrite par un point d'un cercle ayant 'la pour rayon , le* point B pour origine, et BV pour base.

La développée de la cycloïde AEA' se compose donc de deux demi-cycloïdes AB, A'B, identiques avec la

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première, et dont le prolongement se rapporterait aux . branches suivantes de celle-ci.

138. La différence de deux rayons de courbure étant égale à l'arc de la développée, compris entre les deux points de contact, et le rayon de courbure de AEA' étant nul au point A , la ligne MO est égale à Varc AO. Donc dans toute cycloïde AOB , Tare compris entre le sommet A et un point quelconque O est double de la corde NO dû cercle générateur NOC qui passe en ce point -, proposition déjà démontrée précédemment par d'autres considé* rations.

Ainsi, en revenant à la cycloïde primitive, on aurait

ME=2MD, et, par conséquent,

AE = 4fl et AEA' = 8«.

Si Ton fait ia — y = y\ c'est-à-dire si Ton compte les j' à partir de E, dans le sens El, et que Ion pose EM = 5 , on aura

Telle est l'équaiiori de la cycloïde entre l'ordonnée et l'arc , comptés à partir de son sommet.

139. Déi^eloppéf de la parabole. — Soient l'équation jr* = 2px (fig'"G^)^ M un point quelconque de la parabole, MN la normale, O le centre de courbure 5 on aura , d'après une formule donnée précédemment ,

Soient X y y \es coordonnées de M 5 a , 6 celles de O , et (p l'angle de MO avec la parallèle MI à l'axe des y \ on aura

MN = (j'-H/?')^, j — 6 = M0coS(p, a — x c= MO sin <p,

tang ^ = - , .ces (f = . 9 sin (|p = •

1^8 livue 1.

On lire de là

. /> = *— /^' 6 , a = 3 or -4- /J .

Entre ces deux équations et celle de la parabole y^ = ipx^ si Ton élimine x et j^, on aura l'équation du lieu des points O ou la développée. On trouve ainsi

On peut remarquer que l'équation précédente a==3j:^-hp indique une construction fort simple ^u centre de courbure O. Car l'abscisse OP de ce point étant égale à Sx 4- p , on a NP = a.r. 11 suffit donc de mener la normale indéfinie MN, de prendre NP double de l'abscisse du point donné M et d'élever en P une perpendiculaire à l'axe. Sa rencontre avec la normale donnera le centre de courbure.

\ 40. Dév^eloppée de la spirale logarithmique. — Nous avons trouvé que le centre de courbure C de cette courbe est le point de rencontre de la normale et de la perpendiculaire menée par le pôle au rayon vecteur (fig. 6o). Le rapport de AC à AM étant constant, puisque les angles du triangle AMC sont constants^ il s'ensuit que deux rayons vecteurs quelconques de la développée seront dans le même rapport que deux ray ms vecteurs quelconques de la spirale, faisant entre eux le même angle que les deux autres. Si donc on fait tourner la développée autour de A , jusqu'à ce qu'un de ses points soit sur la spirale, toutes les autres y seront de même et les deux courbes coïncideront. La développée de la spirale logarithmique n'est donc autre chose que cette spirale même qui a tourné d'un certain angle autour du pôle.

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