AN COS9 ( - H
égalant ces deux expressions de la rotation du système, il vient
- -h ^ = ( - H ) cos<p;
d'où l'on tire
^^^ P— w(R-f.R') — RR'cosy'
ou
I I RR'coscp
Les formules (i) et (2) résolvent la question et donnent le rayon de courbure du lieu de M , au moyen des rayons de courbure des deux courbes données , en leur point de contact A correspondant à M, et, en outre, de la posi-
l84 LIVRE I.
lion du point Mi par rapport à A et à la normale k ces courbes.
Il n'est donc besoin de connaître aucune ^utre chose Relativement aux courbes données, que leurs rayons de courbure ^u point que Ton considère. Ainsi Ton pourrait, en ce point, leur substituer deux autres courbes ayant même courbure qu'elles, et, par conséquent , leurs cercles de courbure eux-mêmes. Le lieu décrit par le point M ne serait plus le même , mais au point en question il aurait toujours même courbure.
Si la ligne UV est droite, on a
R = 00 , et, par suite, p = —; 9
"^ ^ n — R' ces ^
ce qui est injimédiatement applicable à la cycloïde et ramène au résultat déjà trouvé.
Si U'V est une ligne droite, UV étant une courbe quelconque, on a
et la formule (i) devient
n — R cos <p '
si de plus le ppint M /était situé sur la droite mobile, on aurait
^=:-r et, par suite, p = n.
Le centre de courbure serait donc au point de contact A , et, en effet, dans ce cas la courbe décrite ne serait autre chose qu'une développante de la courbe fixe.
Observation. — Si la courbe UV tournait sa convexité en sens contraire , il faudrait changer R en — R dans les formules (i) et (2), pourvu toutefois que le
DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. lb5
centre de courbure X se trouvât toujours, comme on Ta supposé, sur le prolongement de MA.
Si au contraire le point X se trouvait du même côlé que M, il faudrait changer p en — p dans ces mêmes formules.
jipplication aux épicycloïdes ,
444. Si l'on suppose que les courbes UV, U'V [fig, 66) soient des cercles, et que le point M appartienne au cercle mobile lui-même, la courbe décrite sera ce qu'on appelle une épicffcloïde plane.
Voyons ce que donné alors la formule ( i ).
Le triangle AMB donnant
~CPST = ;^.
on aura
^^K P= R + t.R' =" + r:î:Ir'-
Ainsi , pour avoir le centre de courbure , il suffit de prolonger la normale AM d'une quantité AX dont la valeur est
