CHAPITRE IL

DES DÉRIVÉES, DES DIFFÉRENCES ET DES DIFFÉREN- TIELLES DES FONCTIONS d'uNE SEULE VARIABLE. NOTATIONS.

168. Nous avons démonlré (n° 69) que le rapport des accroissements infiniment petits correspondants d'une fonction et de la variable dont elle dépend, tend en général vers une limite déterminée, et nous avons nommé cette limite rfmVée de la fonction par rapport à la variable indépendante.

L'accroissement positif ou négatif d'une variable quelconque , dépendante ou indépendante , se nomme la différence de cette variable, et se désigne par la caractéristique A suivie de la lettre qui représente la variable.

Ainsi A 07, Ay, A-z, etc., représentent les différences ou accroissements des variables x ^y ^ z, etc.

La dérivée d'une fonction se désigne , comme nous l'avons déjà dit, par la lettre même qui désigne cotte fonction, affectée d'un accent : de sorte que les dérivées par rapport à X des fonctions F (x) , f (x) ^ (f (x) , etc., s\'»criront

ainsi :

Ainsi, d'après la notation des différences, si Ton désigne une fonction quelconques F [x) par j, on aura, en supposant que A.r et ^y tendent vers zéro,

Uni. ^ =F'(.r),

et , par conséquent, en représentant par a une certaine

2l8 LIVRE II.

quautité tendant vers zéro en même temps que ^x^

— =F'(^)-4-a, et Af=i¥'(jc)Ax-hulx.

169. Cette dernière expression nous fait voir que raccroissement infiniment petit d'une fonction quelconque peut être considéré comme composé de deux parties , dont l'une oiAx est infiniment petite par rapport à l'autre qui est F' (.r) Ax. Or nous savons que les limites des sommes ou des rapports d'infiniment petits, ne sont pas altérées lorsqu'on remplace ces infiniment petits par d'autres qui en différent de quantités infiniment petites par rapport à eux. Donc , toutes les fois que Aj entrera dans un calcul comme terme d'un rapport ou d une somme dont on dierchera la limite, on pourra le remplacer par F' (x) Ax, c'est-à-dire par le produit de la dérivée de y par l'accroissement infiniment petit de la variable indépendante X.

On donne le nom de différentielles à ces quantités que l'on peut substituer aux diilérences infiniment petites des fonctions. Elles sont plus simples, puisqu'on néglige dans celles-ci le terme oc Ax qui est presque toujours eiicessivement compliqué. Ce sont même les plus simples quantités que l'on puisse considérer au lieu de l'accroissement de la fonction correspondant à l'accroissement arbitraire Axy puisque c'est le simple produit de ce A a: par une fonction ou A x n'entre pas.

Les différentielles, ces quantités infiniment petites, plus simples, que l'on peut substituer aux diôerences elles-mêmes, se désignent par la caractéristique d^ au lieu de A, et comme elles ne sont autre chose que le produit de la dérivée de la fonction par l'accroissement de la variable , on aura

dy=.r{x)ù^x ou ^=:F'(^);

la diiTérentielle est donc une quantité dont le rapport à 1 ^accroissement de la variable est égal à la limite du rapport de la différence de la fonction à ce même accroissement. On voit que la recherche de la dérivée ou celle de la différentielle d'une fonction sont une seule et même question.

170- Si l'on suppose que la fonction j^ soit x lui-même, ou aura

Aj = Ax, F'(x) = i et (lx=:lx.

Ainsi la différentielle de la fonction y, qui dans ce cas est X, est identique à Ax, c'est-à-dire que l'on a

cLszzz A.r ;

et, comme il est plus naturel d'employer une seule caractéristique quand cela est possible, toutes les fois quil s'agira At différentielle de fonctions de x nous représenterons l'accroissement de x par dx'^ et, lorsqu'il s'agira des accroissements exacts désignés par la caractéristique A , nous représenterons l'accroissement de a: par A x. Remarque. — Si, dans une même question, on a a considérer une variable indépendante x et plusieurs fonctions j^, -3, M, 1^, etc., de celte variable^ que l'on représente par Ay, A 2, Au, Ai', etc., les accroissements de ces fonctions, correspondants à un même accroissement A x dex; et par dy^ dz^ du^ du^ etc., leurs différentielles correspondantes à dx = A x : toutes ces différentielles seront dans des rapports constants avec c/xet, par conséquent, les unes avec les autres , à mesure que dx tendra vers zéro. Ces rapports constants seront évidemment les limites des rapports des différences correspondantes, qui ne diffèrent des différentielles que de quantités infiniment petites par rapport à elles-mêmes.

23o LIVRE II.

Aiusi, par exemple, on aura

dv ,. ùkv — - =hm. — 9 djr Aj

desoile que — est la dérivée de t^par rapport à j^, quelle

que soît la variable commune par rapport à laquelle on ail pris les différentielles dv^ et dy. Ce qu'on peut encore

exprimer d'une autre manière en observant que — est le

^ d\> y dy , .

rapport de— a -y- 9 et on obtient cette proposition que-

la déniée dUine ^variable i^ par rapport à une autre variable y, est égale au rapport des dérii^ées de p» et y par rapport à une même variable quelconque x, dont elles peus^ent êive considérées comme dépendantes.

Des fonctions simples , des fonctions de fonctions et des fonctions composées.

171. La manière dont une quantité peut dépendre d'une autre est susceptible d'une variété indéfinie. Parmi toutes les formes possibles de fonctions , on en a choisi un certain nombre très-limité, auxquelles on est convenu de chercher à ramener toutes les autres. Elles sont telles , que , soit par les premières opérations de l'arithmétique , soit au moyen des Tables construites d'avance, on peut, avec un degré suffisant d'approximation, obtenir leurs valeurs correspondantes à des valeurs numériques quelconques de la variable dont elles dépendent.

Ces fonctions, que l'on désigne sous le nom de fonctions simples, sont les suivantes, dans lesquelles a désigne une quantité indépendante de la variable x : û + x,

a — x, ax^ -1 X'" [m étant un nombre réel quelcoa-

que), à^ ^ sînor, cosx, langx, cota:, sécic, cosécj:^ et les fonctions inverses logx, arc sinx, arc coso:, arc tango:, arc cot.r, arc séc.r , arc cosécx.

Une fonction quelconque de x peut être soumise aux opérations qui constituent une nouvelle fonction^ on a alors une fonction d'une fonction de x. En la considérant elle-même comme une variable, on peut encore la soumettre aux opérations qui constituent une nouvelle fonction, et ainsi de suite. Les fonctions obtenues de cette manière se nomment, en général, Aes fonctions de fonc-^ fions.

Lorsqu'une fonction dépend de plusieurs fonctions de x^ on la nomme une fonction composée de Xy et c'est le cas le plus général des fonctions explicites j c'est-à-dire de celles qui sont l'indication d'opérations qu'on sait effectuer.

Dans tous les cas, lorsque deux fonctions, renfermant un nombre quelconque de variables dépendantes d'une seule, sont toujours égales, quelque valeur qu'on donne à cette variable, il est clair que leurs accroissements correspondants sont toujours égaux, et que, par conséquent, leurs dérivées par rapport à cette variable le sont aussi, ainsi que leurs diflérentielles.

D'où il résulte que , quand une équation a lieu pour toute valeur de la variable indépendante , les dériuées ou les différentielles de ses deux membres par rapport à cette variable sont égales, quelque valeur qu'on lui donne.

Nous allons faire connaître les principes au moyen desquels la détermination des diflérentielles ou des dérivées de toutes ces fonctions se ramène à celles des diflérentielles ou des dérivées des fonctions simples

232 LIVEE II.

Difféventiation des fonctions de fonctions.

172. Considérons une fonction m de a:, délenninëe par la suite d'équations

« = F(2), z=if{y), j=y(j:),

et cherchons sa dérivée par rapport à x, ou la limite du rapport — 9 dont les deux termes tendent vers zéro , opération qu'on appelle û?j^re«f/«ï/o/î. Soient Ai/, Ar, A^ les accroissements de m, z, j^ correspondants à l'accroissement ^x Ae x\ on aura identiquement

À u Am a z Ly ^x A3 ^y A X

d'où, en observant que la limite d'un produit est le produit des limites ,

lim. — = lim. ^ . lira. ^ - lira. ^ =F' (z)/' [y) / (x). tkX tkz Ly ùkx ^ ' \^ / T \ /

Donc la dérivée de u par rapport à x est le produit des dérivées de u par rapport à z, de z par rapport ày, et de y par rapport à x.

Si l'on représente la dérivée de u par rapport à x par le rapport des différentielles , on aura

da=:.r{z)f{y)r^'[x)dx.

C'est en cela que consiste le principe de la différentiation des fonctions de fonctions. H a lieu évidemment, quel que soit le nombre des fonctions accumulées ; et il

ramène à la simple dîfFérenliation de chacune de ces fonctions, considérée isolément.

Différentiation des fonctions inverses.

173. Si l'on désigne upe fonction F(x) par y, c'est-àdire si l'on pose

et qu'en résolvant par rapport à x, on en tire

on dît que les fonctions F et (p sont inverses l'une de l'autre.

Cela posé, ces deux équations étant les mêmes sous une forme différente, elles donneront les mêmes accroissements correspondants pour x et y. Soient Ax, Ajr ces accroissements , on aura

d'où il résulte que, pour avoir la dérivée d'une fonction F(x) inverse de la fonction <f(x)^ dont on sait trouver la dérivée , il suffira de prendre la réciproque de la fonction dérivée (p', et de placer sous ce signe la fonction proposée F (x).

Expression de V accroissement infiniment petit d'une fonction de plusieurs variables dépendantes ou indé" pendantes ,

174. Considérons une fonction j^ qui dépende de deux variables m, t^, et soit

Si l'on donne à m et t^ des accroissements infiniment petits

A M, A V dépendants ou indépendants Tun de l'autre , suivant que M et P» le seront eux-mêmes , l'accroissement correspondant dey sera

Af = F{tt -f- Am,p4- Av) -— F(«,p)

et pourra se mettre sous la forme

A/ = F(a 4- Aw,(^) — F(«,f)

H- F(« 4- Att,P -f- Ap) — F{u -f- A «,»/).

Les deux premiers termes peuvent s'écrire ainsi :

F(tt-f-A«,(^) — F(«,p) ^

Le coefficient de Aune diflère que d'une quantité infiniment petite de la dérivée de F (//, p») par rapport à 1/, P' étant considéré comme constant. Soit Fj (w, i^) cette dérivée, que Ton appelle déwée partielle de F(«, 1^) , ou de j^ par rapport à u *, l'expression précédente pourra se mettre sous la forme

[F.(«,p)-f-alA;^,

a désignant une quantité qui devient nulle avec A m. La seconde partie peut se mettre sous la forme

F(« -h A«,«'-f- Av] — F(w -4- Au^v)

çt le coefficient de Ap» ne différera de la dérivée de F(m-4- Al/, f^) par rapport à ^ considéré comme seule variable , que d'une quantité S qui deviendra nulle avec Af^. Soit Fa (a, v^) la dérivée partielle de F(m, i^) par rapport à P' ; on pourra donc mettre la seconde partie de A j" sous la forme

[Y,{u-\- Au,v) 4- fi]/^ts

/3 devenant nul avec At^.

Mais Fi{u H- Au, u) ne diffère de Fi(/i5 p») que d'une quantité qui deviendra nulle avec Ai/^ l'ajoutant avec |3, et en désignant leur somme par a', la seconde partie de Aj" aura pour valeur

[F,(i*, (.)-+- a'] Ap;

et par conséquent , en réunissant les deux parties de Aj,

Ar = [F,(«,p) 4- a]A«-h[F2(a,p) 4- a'] Ai'.

Or aAw, étant infiniment petit par rapport à la première partie, l'est par rapport à Ay lui-même; et il en est de même de a'Ai^, soit que Au et Ap» soient dépendants ou indépendants l'un de l'autre. Donc, en désignant par w une quantité infiniment petite par rapport à Aj^ on aura

Aj = Fi(«, f)AM -4- F2(a, (\)A(' -h w.

On représente les dérivées partielles F, (u, ^) , Fî("î ^)

r/F(;«,p) d^{u,v) dr dy . ., ^ i.

par — \ S ; — t ou -f-5 -^, mais il tant bien se

^ du dv du dv

rappeler que ces deux dy sont différents et représentent les différentielles àej relatives à la variation d'une seule des quantités u, s^ \ on les nomme les différentielles partielles de y par rapport à /£ ou à i*. Euler avait proposé

d'écrire ainsi ces dérivées partielles : (-j-p \~ry ^^ *

supprimé, depuis, ces parenthèses, parce qu'avec un peu d'attention, toute méprise est impossible. L'équation précédente s'écrira alors de cette manière :

dy dy ^

A r = -r- A« -f- -r- Ai' -f- w ; •^ du dç

et il est bon de se rappeler que o) se compose d'abord d'une partie qui, divisée par Am, devient encore nulle quand on y fait Am = o, et d'une autre partie qui , après

236 Liyj^K II.

avoir été divisée par Ai^, contient des termes qui deviennent nuls, les uns quand on y fait Au = o, et les autres quand on y fait At^ = o.

On aurait des résultats analogues pour un nombre quelconque de variables m, v^ etc., soit entièrement indépendantes , soit dépendantes les unes des autres, ou d'autres variables quelconques.

Diffère ntiation 'des fonctions composées. 175. Soient

a=/(j:), i>=zff{x), w = '^[x)y . ..',

y sera alors une fonction composée, relativement à x.

Pour avoir sa dérivée , on remarquera que , d'après ce qui précède, on a, en supposant les accroissements infiniment petits ,

dy dy dr

du dv d(v

0) étant infiniment petit par rapport à Ay.

Divisant par Aa: et passant aux limites, on obtient

djr djr du dy dv dy dw

dx du dx dv dx dw dx * ' * '

dr expression dans laquelle il ne faut pas oublier que -j- >

'j-') -7- sont les dérivées partielles de la fonction y. Si x

entrait explicitement dans F (m, v^^ w, . . .) , par exemple

si II n'était autre chose que .r, -— deviendrait -f- et se- ^ du dx

rait la dérivée partielle de la fonction par rapport à Xj

tandis que le ^ du premier membre est la dérivée totale de la fonction dans laquelle on fait varier toutes les quantités dépendantes de x. On ne se méprendra jamais sur le sens de ces notations : c'était pour éviter toute crainte à ce sujet, qu'Euler avait proposé, comme nous l'avons dit, de mettre en deux parenthèses les dérivées partielles \ mais on a renoncé à cette précaution.

L'équation ci-dessus donne, en multipliant les deux membres par dx^

du dv dw

que l'on écrit quelquefois ainsi :

djr =duy -i-d^x -hd^jr -f-

On peut donc énoncer ainsi le principe de la différenliation des fonctions composées :

La différentielle d'une fonction composée est égale à la somme de ses différentielles partielles, relatives à chacune des variables qui y entrent explicitement.

Quant aux différentielles rfa, d\^^ etc., de ces dernières, elles se rapportent toutes à la diflFérentielle dx de la variable unique dont elles dépendent.

1 76. Théorème des fonctions homogènes. — La différeniiation des fonctions composées donne la démonstration d'un théorème remarquable sur les fonctions homogènes. On dit qu'une fonction de plusieurs variables est homogène et du degré m , lorsqu'en multipliant chaque variable par une indéterminée «, la fonction se trouve multipliée par T".

Cela posé , soient u=-¥(x^j^z^,,,) une fonction homogènedu degré w, et <p(jt:, j^, z^...) ^^{oc^y^ -^v)? ^^"> ses dérivées partielles par rapport à or, y, etc. 5 on aura,

d'après la définition précédente ,

(i) F(rx, ty, tz,.. .) = r F(j:,7, z).

Différentiantles deux membres par rapport à la variable t seulement, il vient

if[tx, tyj iz,..,)x + >K/A', (r, f«, ...)r 4- . . . ~ mV^'Y{x,y^ z);

faisant iC = i dans cette identité, on aura la suivante : du du du

C^est en cela que consiste le théorème des fonctions homogènes.

On peut remarquer que si , dans l'identité (i) , on suppose f = -9 on obtient

af^ \ X X I

Ainsi une fonction homogène de degré m , divisée par la puissance m d'une des variables, ne dépend plus que des rapports des autres variables à la première.

Diffei^ntielle d'une somme, d\in produit ou dun quotient,

177. La règle précédente, appliquée à une somme de ternies , montre que la diflérentielle d'une pareille fonction est la somme des diflérentielles de cliacun de ses termes , ce qui était d'ailleurs évident de soi-même.

Si l'on suppose maintenant y = u^w. . . , la même règle donnera, en observant qu'en général rf[AF(j:)]= A^F(x), si A est un coefficient constant,

djr z= v(v . , . du -f- uw , . .du -\- ui' . . . dw H- . . . ,

CALCUL DES DERIVEES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. 23q

[du di> dw ' \

dx= mw. . . 1 1 h. . . I

Soit encore j^ = -, d'où vr = u. En prenant les différentielles des deux membres , on aura

ydv H- vdy ■=. du ,

d'où

du ydv du udv

ce que l'on peut écrire ainsi :

vdu — ndv

Ces trois règles sont d'un usage très-fréquent.

Comment la différentiation de toute fonction explicite se ramène à celle des fonctions simples.

178. Considérons maintenant une fonction explicite quelconque de x : elle indique une suite d'opérations à effectuer, dès que l'on aura choisi arbitrairement une valeur numérique pour x. Celle de ces opérations qui doit se faire la dernière, et dont le résultat est la valeur de la fonction, porte soit sur une seule, soit sur deux quantités variables avec x; dans ce dernier cas la différentielle de cette fonction se ramène , par le théorème des fonctions composées, au cas où une seule des deux quantités serait variable , et alors on n'a plus à considérer qu'une fonction simple. Si donc on savait trouver les différentielles de toutes les fonctions simples , on saurait trouver celle de la fonction proposée , au moyen des différentielles des quantités sur lesquelles doit s'exécuter la dernière opération. r^a question est donc ramenée à déterminer ces différentielles^ qui sonl celles de fonctions moins compliquées

24o LIVRE II.

que la proposée , et qui se ramèneront semblablement à d'autres fonctions encore moins compliquées, jusqu'à ce que l'on parvienne à des fonctions simples.

Tout se réduit donc à la différentiation de ces dernières , et c'est de quoi nous allons nous occuper présentement.

Différentiation des fonctions simples,

179. Différentielle de logx, — Soit y = \o%x\ ce logarîthme étant pris dans une base quelconque a, od aura

A7=rlog(j:-f- Ax)— loga?= logf i+ — j, et 5 par suite ,

Posons — = a, et substituons dans le second membre,

il vient

ày log(iH-a) I , . ^ àx ax X ^^ ^

Or on sait que (i-f- a)" tend vers la base e du système de Néper, lorsque a tend vers zéro (voir la note I à la fin).

Donc la limite de — est — S-.

Ax X

On peut donc écrire

dy ]oge loge

-y- = 5 OU ^ = —2- dx.

dx X X

Si l'on observe que loge=T-f 1 désignant les

rithmes népériens, ou pourra écrire

dx dy I

x\a dx x\a^

si a = e, on auray =:la:,

dx dy i dx=—j -f=- X dx X

Dans le cas où a = lo, le module loge a pour valeur loge = 0,4342945. • .-

180. Différentiel fe de a"". — Soit maintenant la fonction inverse j = a''. D'après la règle donnée en général pour les fonctions inverses , et dont on pourrait refaire la démonstration sur chaque cas particulier, on aura

dr Y a'

dx loge loge

et, par suite,

dyzzza'l adx.

On pourrait aussi trouver directement la différentielle de a', et en déduire celle de la fonction inverse logT. En effet , si l'on a j^ = a', on aura

d'où

Tout se réduit donc à trouver la limite de — , ou,

pour plus de commodité, de > cl tendant vers zéro.

Posons

a'' — 1=6, d'où fl"=i4-6,

et , par suite ,

alfl=:l(l

d'où il résulte

la =

Or, 6 tendant vers zéro, (i-j-S) a pour limitée^ donc

1 ^ — ï 1 hm. = \a,

a et, par conséquent,

-j- =a*\ay et clx = a*\adx,

181 . Différentielle de x'", — Soit 7 = x"' 5 on aura , en prenant les logarithmes des deux membres dans la base e ,

prenant maintenant les différentielles des deux membres^ il vient

— =:m — 5 d ou rfr = —^ d.v.

Remplaçante^ par x"\ on aura, quel que soit m ,

dy dy = mx""-* dx^ -f- = mx^^ ' .

*^ ' dx

S\j et X n'étaient pas positifs, les logarithmes seraient imaginaires*, on évitera cette difficulté en élevant au carré les deux membres de l'équation y = jc"*, ce qui donne

et , prenant les logarithmes ,

Ij' =: m \x\

CALCUL DES D^ElVEES ET DES DIFFERENTIELLES, ETC. 24^

DifTérentiant les deux membres , il vient

d.{r') d.ix') i^i— i = m ^ — - •

et, comme on reconnaît facilement que Ton a

d .{jr^) = Q^ydjr, d . (a?') = 2Xfitr, celte équation deviendra

djr mdx

et , par suite ,

dy dy = iwx™ "' dxy et -7- = w^'"'"' ,

•comme dans le premier cas.

Dans le cas particulier de m = — i , on trouve

1 dx

Si m = - 1 on a

On peut parvenir directement à la difiereniielle de j:'". Si l'on suppose d'abord m entier et positif, on aura, eu désignant x'" par j^

divisant par Ax et passant à la limite, on oblienl

-f-=:mx^-\

Soit maintenant w= -9 petq étant entiers et positifs,

on aura

y=:x^y d'où y^z=zxP.

Différentiant les deux membres , il vient

qyt-^ dy =/?j:P""' dx ; d'où

p dyz=: — — — - dx-=.~x^ dx^= mx^^^ dx.

Cette formule étant vraie, quelque valeur commensurable qu'ait m , est encore vraie lorsqu'il est incommensurable.

Soit enfin m = — n^ n étant un nombre quelconque positif, on aura

7=0:-"=—; d*où 7aC"=ï.

Différentiant les deux membres, il vient, en appliquant au premier membre la règle des fonctions composées ,

x^dy -+- naf^^ ydx = o ; dWi

dyz=z — /îo?— ""■' dx = wj:™— ' dx.

Ainsi, quelque valeur qu'ait m, la différenrielle de x"' est, comme nous l'avions déjà trouvée, mx"""^ dx.

182* Différentielles rie sinx, tangx, sécx. — Les lignes trigonométriques étant des fonctions de Tare correspondant (voir, dans les applications géométriques, Tarticle sur la longueur des lignes courbes ) , nous pouvons chercher l'expression de leurs différentielles correspondantes À celle de Tare, Dans tous ces calculs nous supposerons que le rayon soit pris pour unité.

i*'. Soit d'abord

y = sinxy il en résultera

, Ay z=: siïï{x -h Ax) =: smx =i n sm — cos I x-\ l ,

d'où

sin

-— = — cos

àx Ax

Ht)-

Or, lorsqu'un arc tend vers zéro , le rapport du sinus à Tare tend vers Tùnîté, ainsi que le rapport de la tangente à Tare, ou du sinus à la tangente; donc

. A.r sin —

lim.

àx

la limite du second membre est donc cosx. On a donc

— -==.cosa:; dx

on en déduit

djr = cos xdx ,

d . sinjt = cos xdx.

2". Soit maintenant j^= tangj:; on aura

tangjr-f-tangAo? tangAxfiH-lang'x)

àx= tai]tra:=i — 7

I — tang^rtangAx ^ i — tangjrtangAji;

d'où

Ay tang àx i-f- lang'a:

Ax ~~àx ' 1 — tango; tang A a;'

et passant aux limites ,

dy , .. ï

~- = H-lang'a? = sec'a:r= — r— »

dx cos'x

et , par suite ,

dx dy = d . tant; x =. — r— •

On arriverait au même résultat en considérant que tang x

siDj;

égale » et appliquant la règle pour difïérentier les

cosa:

fractions.

Soit enfin j^ = sécx= ] on aura, par la règle des

fractions ,

cosx

d . cosa? smxdx

dr = = =r tango; secxdx :

cos*^ cos':c

ainsi d.sécx^=taiï^x sécxdx.

On y parviendra encore en observant que

Ar= 7 r 5

cos(a:-f-A j:) cosj:

et développant les calculs comme dans les cas précédents. 3°. Différentielles de cosx^ cotx, cosécx. — Considérons maintenant les mêmes fonctions du complément

xdel'arcx.

Observons pour cela que l'on aura en général, en regardant X comme une fonction de x ^ et appliquant

la règle des fonctions de fonctions ,

Ainsi , pour les trois fonctions cosx, cotx, coséc jc, qui ne

sont autres que sin ( xj^ tang ( x ) 5 séc ( xu

il faudra prendre les dérivées des fonctions respectives sina?, tangx, sécx, y changer x en x, puis multiplier par — dx. On trouvera ainsi :

, . , i da:

a.cosx = — sin.raa:, a. cota: = 7

sm^a:

cf. cosécx = — cet A* cosécx dx .