Différentielles des fonctions trigonométriques
inv^erses, — Nous avons vu que, pour obtenir la dérivée
d'une fonction y àex^ il suffisait de diviser Tunilé par la
dérivée de la fonction inverse^ dans laquelle on mettrait
y pour variable.
D'après cela, si Ton considère les fonctions arcsino:, arc tangjc , arc sécx , arc cos JC , arc cot x , arc coséco: qui ont respectivement pour inverses
sino;,' tangx, sécj:, cos.r, cotx, cosécx,
on trouvera :
dx dx
pour y = arcsmx, dy =
pour y = arctangjT, dy = cos^ ydx
dx
dx dx
pour y = arc sec x, dy =
pour y = arc ces X, dy = —
langj-séc/ x)/i' — i' dx dx
siny yji^x'
dx
pour y = arc cota; , rfy = — s\xi^xdy = pour y := arccosécjT, dy =. —
-H X' dx dx
coiy co^cy ^ v/x»— i
Il faut bien remarquer que les radicaux qui se soni introduits dans ces formules doivent être pris , tantôt avec le signe -h , tantôt avec le signe — 5 on reconnaîtra celui que l'on doit prendre , en considérant la ligne trigonométrique qui l'a introduit.
Les trois dernières différentielles sont égales aux trois premières, en faisant abstraction des signes, qui peuvent être semblables ou dissemblables \ et cela tient à ce que la somme ou la différence des deux arcs correspondants est une constante.
Les signes que nous avons donnés aux radicaux dans ces formules se rapportent au cas où l'arc est compris
TT
entre o et —
Les différentielles des fonctions trigonométriques , ou fonctions circulaires^ pourraient encore s'obtenir par des considérations géométriques fort simples , auxquelles nous ne nous arrêterons pas.
184. Le tableau suivant renferme les différentielles de toutes les fonctions simples. Nous y représentons par la lettre caractéristique L les logarithmes dans une base quelconque, et par 1 ceux qui se rapportent à la base de Néper. Dans les fonctions trigonométriques inverses , les
signes des radicaux supposent l'arc compris entre o et - :
'dx
Le —
dx d.\x=^
d. a'=ia'\adx d.e' = e'dx
d . sin X = cos xdx
dx d . tanga:= — ^— cos' X
d. séca: = tangj: sécxdx
d. cosx = — sinxdx
dx
sin*x
d . cosécx=: — cot jr cosécxifo:
d .eotx^z
d . aresiBJ:= ■
dx
d. arctangx^ d . arc sécx= —
rf.arc cosx= — d . arc cotx= — <f . arc cosécj: = —
dx dx
Il est bon d'observer que ces différentielles des foncr lions simples de x ne supposent nullement que x soit la variable indépendante. Elles correspondent bien à la différentielle dx] mais celle-ci peut dépendre de celle d'une variable quelconque dont x dépendrait, comme auss^ elle peut être entièrement indépendante. Ainsi Ton
CALCUL DES uiaiVÉES ET DES DIFFiRBNTIELLES , ETC. 249
aurait
rf.[F(j:)]" = /î[F(x)]''-'rf.F(x), d.sïn[Y{x)] = cos[F {x)]d.¥ (x),. . . ,
C'est cette même considération qui nous a conduits à la difTérentiation des fonctions de fonctions.
Différentielles des fonctions implicites.
185. Si par fonction implicite on entendait toute fonction dont la forme n'est point donnée explicitement, maïs qui est déterminée complètement par les données de la question , on se jetterait dans une trop grande généralité , et il ne serait pas possible de donner des règles générales pour leur différentiation. Nous renfermerons seulement sous celte dénomination les fonctions qui sont liées aux variables dont elles dépendent , par des équations dont les deux membres sont des fonctions explicites de toutes ces quantités.
Nous considérerons d'abord le cas où Ton a une seule équation ; ce cas se subdivise en deux autres , suivant que la fonction dépend d'une seule ou de plusieurs variables indépendantes.
Soit d'abord la fonction y déterminée par l'équation
Les dérivées par rapport à x , des deux membres de cette équation, devant être identiques, et j^ étant une fonction déterminée , quoique inconnue de x^ nous aurons, d'après la règle des fonctions composées,
dF €l¥^ d¥ dY
dx dy dx ' dx dy '
équation.qui détermine la dérivée ou la différentielledcj ,
puisque l'on peut former les dérivées partielles —,
de la fonction explicite F (x, y). On aura ainsi :
dF ûfF
dy dx ,, ^ . dx
-ji. r=: » d ou dy "=. dx ,
dx dF' ^ dF
Ces valeurs de la différentielle et de la dérivée de y sont exprimées au moyen de a: et j^ à la fois; elles ne peuvent l'être au moyen de x seul , que quand on peut résoudre l'équation Y[x^ j) = o par rapport à y\ mais néanmoins ces formules ne laissent pas que d'être d'une grande utilité dans le cas même où cette résolution est impossible.
186. Considérons maintenant m — i équations entre m variables \ ce qui détermine m — i d'entre elles en fonction de la mf*""""^ qui sera la seule variable indépendante. Soient
F^,(j:,^, z,. ..)=ro; on trouvera, en différentiant toutes ces équations,
^F , dF , dF ,
—-dx -h-r-dx -\~---dz +... = 0,
dx dx dz
dx dx dz
dFm-.i , , dFm-2 , , ^F;„a
— dx H j dx H j — r/z -I-. . . =r o.
dx dx dx
De ces m — 1 équations du premier degré par rapport à
CALCUL DES DERIVEES ET DES DIFFÉRENTIELLES ^ ETC. 25l
dy^ dz , etc. , on tirera la valeur de ces m — i inconnues en fonction de j:,^, z^,,, et dx\ ce qui était l'objet de la question.
Expression remarquable du rapport des accroissements finis de deux fonctions d^une même variable,
187. Soient F [x) , f(x) deux fonctions quelconques, et OTo, X deux valeurs arbitraires de a:; X surpassant x© d'une quantité finie positive h. Il s'agit de trouver, au moyen des dérivées de ces fonctions , une expression du rapport
F(a:,+ /i)-F(^o) F(X)-F(xo)
/(xoH-/i)-/(.rr) /(X)-/{^o)'
en supposant que la fonction /(.r) soit toujours croissante ou toujours décroissante ; ou , en d'autres termes , que sa dérivée soit constamment de même signe, pour toutes les valeurs de x comprises entre x^ et X. Admettons, pour fixer les idées, que/'(.r) soit constamment positive entre ces limites •, et soient A , B la plus grande et la plus petite valeur que prend entre ces mêmes limites le
rapport ^, \ [ ; on aura constamment
Multipliant par/' (x) qui est positif , on aura les deux inégalités suivantes, qu'il faudrait changer de sens si f [x] était négatif :
Le premier mcnibre de la première inégalité est la dérivée de F (x), et le second de fif{x) , et par conséquent
(îi'' 72) F (x) croît moins rapidement que Af(x). .On a donc
et divisant par f(x) —f{xo), qui est positif, par hypothèse ,
La seconde jnégali té conduit de même à
Si donc le rapport 2v7-y est continu entre 0*0 et X, ce
qui arrivera évidemment, par exemple, si F' (x) elf'(x)
le sont séparément, il existera une certaine valeur de x
intermédiaire entre XoetX^ telle que ce rapport devien-
, , , , F(X) — F(j7o) . . -.Il
dra égal a ^. ^> ^^ — -^5 qui est compris entre la plus
F'W grande et la plus petite valeur que prend ^ ^ Si Ton désigne cette valeur de x intermédiaire par Xo -h 6 A, 9 ayant une valeur comprise entre o et + i , on parviendra à la formule suivante, dont nous ferons de nombreuses applications :
/ \ F (^0 -h h) — F (xq) F (oTo + Oh)
Si Ton avait supposé y'(x) constamment négatif, les inégalités n'auraient fait que changer de sens, et n^en auraient pas moins conduit à cette même formule. 11 faudra bien se rappeler, dans les applications de cette formule, qu'elle suppose que f'(x) soit constamment de même
signe entre Xq et Xq H- A, et que le rapport ^77— r passe par
CALCUL DES DÉEIVéeS ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. 253
toutes les valeurs comprises entre sa plus grande et sa plus petite, quand x passe par toutes les valeurs comprises entre Jîo et XoH-A.
188. Nous allons déduire de Téquation (i) quelques propositions qui nous seront fort utiles par la suite.
Si Ton avait pour une valeur particulière x^ de la variable, F(j:o) = o, f(Xfi)=iOy la formule (i) deviendrait, en posant Qh=z A, , hi étant moindre que A,
F(j:,-f-A)F(x>4-^.) /(xo-hA)~"/'(xo-f-A,)'
Si Ton avait, en outre, F' (xo) = o ^f (j:©) = o, on aurait semblablement , en représentant par F" (jc), f" [x) les dérivées de F' [x) , /' [x] ou les secondes dérivées de
ht étant moindre que h^ , et en supposant que -ffrri passe
par toutes les valeurs entre sa plus grande et sa plus petite; et, par suite,
Si Ion avait F'^ (tq) = o et/'' (xo) = o, on obtiendrait une formule semblable où entreraient les dérivées de F'' (a:) et/''(a:) ou les troisièmes dérivées de F(a:), yix). En continuant ainsi , et désignant, en général, par (j>"'{x) la fonction qu'on obtient en diflTérentiant successivement m fois la fonction quelconque (f (x) , on verra que si l'on a les conditions
Y(x,) = o, F (.r,) =r o , . . . , F"-' (xo)=o, /(.ro) = o , r i'^o) = G , . . . , /"-' (Xo) == o ,
et que les rapports des dérivées de même ordre , jusqu'à l'ordre n inclusivement, passent par toutes les valeurs entre leur plus grande et leur plus petite , ce qui aura lieu s'ils sont continus , on aura
, F(xo4-A)F"(j:o+eA)
Q désignant une quantité positive moindre que l'unité.
Si toutes les conditions précédentes étaient satisfaites, excepté F (x^) = o, on aurait
189. Comme application de cette dernière formule, supposons que l'on ait
et que la fonction F {x) ait toutes ses dérivées continues jusqu'à F" (a:) inclusivement, entre x^ et x^-h h : les conditions /{xq) == o, /' (xq) = o,. . . , /"~* (x^) =o seront évidemment satisfaites^ et, en supposant toujours que l'on ait
F(xo) = o,..., F''-'(^o) = o,
Féquation (3) devient
d'où
On voit que si F accroissement h de x tendait vers zéro, et que F"(aro) fût fini, l'accroissement de F(a:), pour la valeur particulière x^ , serait infiniment petit de l'ordre n 5 celui de x étant du premier.
CALCUL DES DliBIV^ES ET DKS DIFFl^BENTIELLES , ETC. 255
Si l'on a , en outre , F {xq) = o , la formule précédente devient
(5) F{x,+ h)= ^ ^' ^F"(:co+9>^)>
Si x^ est zéro , cette équation se change en la suivante :
F(^) = — ^ — F«(GA), et , changeant l'indéterminée A en ^ ,
(6) Y{x)^-^ — F'Cô*),
en admettant les conditions
F(o) = o, F'(o)=:o,. .., F'^'(o) = o. On peut remarquer qu'on aurait semblablement
et que par conséquent, dans ce cas, F [x) est infiniment petit par rapport à F' {x) .
Si Ton n'avait pas F (a^o) = o , on obtiendrait, au lieu de l'équation (6),
190. Nous déduirons de ce qui précède un corollaire très-simple, et qui nous servira par la suite. Il consiste
on ce que si — ^ tend vers zéro en même temps que x ,
et queF(a:), F' [x), . . . , F"(a:) soient continues entre o
F ix) et .T, la fraction —^ pourra se mettre sous la forme
^^ ^- En effet , il résulte d'abord de l'hypothèse, que
Ton doit avoir
car sans cela — ^; serait infini, pour a: = o. On peutdonc appliquer ici la formule (6) , et l'on voit, par conséquent, que si — ^, devient nul pour x = o , on aura
Fjx) F"(Qjr)
191. L'équation (4), dans laquelle on suppose «= i , devient, en remplaçant par x la quantité arbitraire a:©,
(8) F(a: + A) — F(a:) = hY' [x ^ G//).
Elle conduit immédiatement à une conséquence déjà obtenue précédemment, savoir : qu'iZ wy a quune expression indépendante de x^ dont la dén'i^ée par rapport à x soit nulle quel que soit x.
En effet , soit F (x) une fonction telle, que pour toute valeur de x on ait F' [x) = o -, l'équation désignée montre que , quels que soient x et x -h h, on aura
F(^) — F(ar-h/i) = o,
puisque F' (x -i-Qh) est nul par hypothèse. Donc F (x) = F (x -H A) , et par conséquent la fonction F (x) a toujours la même valeur, quelle que soit la valeur de la variable ; elle est donc constante relativement à x , ou , en d'autres termes , elle ne dépend pas de x.
D'où résulte, comme nous l'avons déjà dit, que deux fonctions qui ont la même dérii^ée par rapport à une même variable, ne peui^ent différer que par une constante, c'est-à-dîre par un quantité indépendante de celte variable. En effets la dérivée de la différence de ces deux fonctions, étant la différence de leurs dérivées, est nulle
CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFERENTIELLES, ETC. ?.5n
d'elle-même , d'après l'hypothèse ^ donc cette différence est une constante, comme il fallait le démontrer.
192. Nous terminerons par cette proposition très-importante , que si F (.r^y) est égal à zéro quel que soit Xy quand on donne à y une certaine valeur particulière a, toutes les dérivées deY [x^j] par rapport à x dei^iendront aussi nulles^ quand on j fera j =. a.
En effet, pour toule valeur de x et de /i, on aura^ en vertu de l'équation (8) ,
(9) Y{x 4- /^,/) - F U.y) ■= h^ (x-hBli,x) .
la dérivée étant prise par rapport à x. •
Or les deux termes du premier membre deviennent nuls pour j^ = a ; donc F' [x 4- 6h , a) = o.
Et comme x et h sont arbitraires, on peut affirmer que .r-f-ôA peut prendre toutes les valeurs possibles, bien qu'on ne connaisse pas la valeur de 0; cara:-h6/i est toujours compris entre x et x -\- h, el Ton peut faire en sorte que x et x -h h comprennent toujours entre eux une valeur arbitraire x' et s'en rapprochent indéfiniment ; d'où il suit que x -i-Qh peut s'approcher indéfiniment de a:', et que, par conséquent , F' (x^a) est nul, quel que soit j:.
De là on déduira semblablement que F" (a:, a) est nul quel que soit jr,et qu'il en est de même, en général, de F''(x,a).
193. Il est encore utile de remarquer que si h tend vers zéro, et y vers a, le second membre de l'équation (9) sera infiniment petit par rapport à h , puisque F' (x -h ©A, y) tendra vers zéro ] donc la différence infiniment petite /elatiue à x, d^une fonction F (a:, j) qui est infiniment petite , quel que soit x , est infiniment petite par rap^ port à r accroissement correspondant de x,
Différentielles et différences d'un ordre quelconque de fonctions d'une seule variable.
194. La différentielle dj d'une fonction y de x, étant elle-même une fonction de x, aura aussi sa différentielle, et ce sera une quantité dont le rapport à la différentielle de X sera égal à la limite du rapport de T accroissement infiniment petit de dy à F accroissement correspondant de X. Pour plus de simplicité, on prendra pour la différentielle de x, dans celte nouvelle différentiation, la même valeur que dans la première -, et, en général, on lui conservera toujours la même valeur pour toutes les différentiations que Ton aura à effectuer; c'est ce que l'on appelle prendre c?a: constant. Nous représenterons la différentielle de dy par ddy ou d^y^ et nous l'appellerons la différentielle seconde dey par rapport à x. De même d^j, aura une différentielle que Ton désignera par d^y^ et qui s'appellera la différentielle troisième de y] et ainsi de suite.
11 faut bien se garder de confondre ces indices de différenliation avec des exposants de puissance. Les puissances successives d'une différentielle dy s'écriraient de la manière suivante :
rfj, dr\ dy',..,, dy\
Rien n'est plus facile que d'exprimer les différentielles successives de la fonction F(j:) désignée parj^, au moyen de ses dérivées.
En effet , on a d'abord
dy = r[x)dx.
Or la différentielle de F' (x) dx sera le produit de dx par sa dérivée par rapport à x y laquelle est F'' (.r) dx , puis-
CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. îSg
que dx est indépendant de x. On aura donc
d'y = Y"{x)dx\ On aura de même
d'y=.Y"'{x)dx',
et généralement
dry = F"{x)dx'', ou
de sorte que les dérivées successives d'une fonction de x peuvent être considérées comme les rapports des différentielles de même ordre de cette fonction aux puissances du même degré de dx.
On voit par là qu'une différentielle d'un ordre w quelconque est en général un infiniment petit de l'ordre /i, dx étant pris pour le premier ordre ; et que la détermination des dérivées successives d'une fonction ne diffère pas de celle de ses différentielles.
195. Les différentielles successives d'une fonction ont avec les différences de cette fonction des rapports qu'il est essentiel de connaître.
La différence Aj de la fonction j étant elle-même une fonction de jc , a aussi une différence 5 il en est de même de celle-ci, et ainsi de suite indéfiniment. Pour former ces différences successives de la fonction j^ on suppose que l'on donne constamment h x le même accroissement Ajc, et on les désigne de la manière suivante :
Les puissances de Aj seraient désignées comme il suit :
ày, Ay\ Ay\. ., Aj».
Or la proposition que nous allons démontrer consiste en
î que l'on a sénéralemenl, lim. — = — ^• En eflet, on a d'abord
0) devenant nul quel que soit a:, quand on fait Ax = 0.
Prenons maintenant les accroissements que subiront ces
deux membres lorsque Ton augmentera encore x de A.r,
A'r et divisons-les par ^x\ le premier donnera -—» Quant
au second, il suffira de prendre sa dérivée par rapport à X et d'y ajouter une quantité qui soit infiniment petite en même temps que ^x. Mais co devenant nul avec A j:, quel que soit x^ sa dérivée deviendra nulle en même temps, et par conséquent le second membre diflère de ¥"[x] d'une quantité qui devient nulle avec Ax. En la désignant par 0), , nous aurons
en prenant encore les accroissements des deux membres de cette identité 5 relatifs à un nouvel accroissement Ax, et les divisant par Ax, on obtiendrait semblablement
et généralement
w«^i devenant nul avec A.r.
On a donc , en passant aux limites ,
comme nous l'avions annoncé.
Il suit de là que si l'on fait tendre Ax vers zéï'o, en
A" >" prenant Jj: = Ajc, le rapport -rf^ aura pour limite l'unité, et la différentielle de V ordre n d'une fonction quelconque de x pourra être prise pour la différence du même ordre de cette fonction, en négligeant une quantité infiniment petite par rapport à cette différence.
Cette proposition est très-importante, en ce quelle permet de substituer les différentielles d'ordre quelconque aux différences infiniment petites de même ordre, dont l'expression serait beaucoup plus compliquée , et il n'en peut résulter aucune erreur dans les calculs où l'on ne considère que les limites des rapports ou des sommes.
Remarque. — Lorsque plusieurs fonctions, que Ton a à considérer dans une même question , dépendent toutes d'une seule variable or, les différences premières infiniment petites sont toutes déterminées par Aa?, ou par une quelconque d'entre elles ^ ainsi Aj désignera partout le inéme accroissement, soit qu'on le détermine d'après Az ou d'après la valeur correspondante de Ax, en supposant toujours que la valeur de x soit la même. Mais le A*y n'aura pas la même valeur quand il exprimera la différence de y par rapport à x ou par rapport à z. En effet , dans le premier cas il faut considérer les trois valeurs de y correspondantes àx,x-hAa:, jj-KaAorj prendre la différence de la deuxième à la première , et de la troisième à la deuxième , puis la différence de ces deux différences. Dans le second cas, il faudra considérer les trois
valeurs de/ qui correspondent à z^ z -î- Az, z H- aAz, et agir de la même manière sur elles. Or les deux premières sont les mêmes dans les deux cas 5 mais la troisième est différente parce qu'à a: -f- lAx ne correspond pas z -\- nAz : il s'en faut d'une quantité infiniment petite par rapport à Az ^ et que l'on n'a pas le droit de négliger par rapport aux différences du second ordre.
Il est donc nécessaire de distinguer avec soin les différences désignées par A*/, dans les questions où l'on ne prendrait pas toujours la même variable indépendante. 11 en serait de même des ordres supérieurs.
196. Si l'on considère en particulier les fonctions x'"y logx, a', sinx, cosx, on trouvera
d^af" = w(m — - i). . .{m — /? -h \)x'^-''dx",
dx" rf"loga: =dli.2.3...(/2 — i)loge — ,
flf^sin j? = sia I X -f- rt - j </jf", d^ cosx = cos I a? -h /? - J flfj;" ;
et il est bon de se rappeler que le second membre donne la valeur de la différence infiniment petite de l'ordre n , à une quantité près infiniment petite par rapport à cette différence.
