En partant de l'équation ci-dessus

qui renferme non-seulement toutes les courbes algébriques, mais encore toutes celles dont les termes ont des degrés déterminés par rapport à x et y, on arrive à une propriété remarquable des asymptotes , qui consiste en ce qu'elles peuvent être considérées comme limites des tangentes à la branche de courbe à laquelle elles se rapportent.

Nous pouvons supposer à Taxe des y une direction ar-

bitraire, et alors - tendra vers une limite finie jt qui sera

racine de T équation

CALCCL DES DÉRIviES ET BES DIFFÉRGNTISLtBS , ETC. 339

Cela posé, soit (f (x,y) le premier membre de l'équation (i) , on aura

dx ,'(r)'

d'où l'on Jîre

wx--' F ( -^ ) -+- nx^-'f ( -^ ) 4- . . -

(2) ir^z, W W__.

Or, si l'on fait croître x indéfiniment, ^ (" ) ^^ï^^'** '^***'* zéro, et Téquation (2) donnera

Ainsi d'abord , lorsqu'une branche de courbe a nue asymptote, sa direction est la limite de celles des tangentes à cette même branche.

Cherchons maintenant la limite du point*où la tangente renconlre l'axe des j^ et dont l'ordonnée esx

dy ^ dx

L'équation (2) donne

mx

34o LIVRE II.

Supposons d'abord n = m — i ou n<C,m — i, auquel cas la biaDche de courbe aura une asymptote-, on aura alors

lim.

Or cette expression peut être simplifiée au moyen de l'équation, (i). En effet, en divisant cette dernière par x^'^^ et supposant d'abord n =i m — i , on obtient , en faisant croître x indéfiniment,

L'équation (5) donne ainsi

et, par suite,

donc la tangente coupe l'axe des y en un point dont la limite coïncide avec celui o\\ ce même axe est coupé par l'asymptote.

Si l'on avait n<Cirn — i , la fonction/^n'existerait pas, et l'on trouverait

L'asymptote et la limite des tangentes passeraient alors par l'origine.

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DlFFÉRliNTIELLES, ETC. 34 1

Supposons enfin n^m — i , alors la branche de courbe infinie n'a pas d'asymptote. Faisons n = m — i -f- ^ 5 Féquation (1), divisée parx", donnera