CHAPITRE VIL
THÉOIUE DES ASYMPTOTES.
235. On appelle asymptote d'une branche de courhe infinie une droite telle , que les points de cette courbe s'en approchent indéfiniment sans jamais la rencontrer, à mesure qu'ils s'éloignent indéfiniment sur la branche que l'on considère.
Toute asymptote non parallèle à l'axe des y aura une équation de la forme
jr = A-x 4- /,
A et / ayant des valeurs finies.
La branche de courbe aura pour équation
j = Xa: -4- / 4- V,
V étant une fonction connue ou inconnue de x^ mais qui tend vers zéro à mesure que x augmente. On en déduit
À = lim.-5 / = lim. [y — hx). Réciproquement, des valeurs de A: et / ainsi déterminées pour une branche^réelle de courbe correspondront nécessairement à une asymptote de cette branche, puisque j^ — hx — /a pour limite zéro , pour les points de cette branche dont Vx croît indéfiniment.
Les asymptotes parallèles à l'axe des x correspondront aux valeurs de k égales à zéro. Pour trouver les asymptotes parallèles à l'axe des y, on considérerait réquation
CALCUL DES DERIVEES ET DES DlFFEREÏfTlELLES, ETC. 333
X = li'j -h V et Fon ne s'occuperait que des valeurs de h' égales à zéro.
236. Appliquons ces considérations à une courbe dont Téquation peut se partager en plusieurs parties homogènes par rapport à x, j", et peut être mise, par conséquent, sous la forme suivante, où nous supposerons les exposants de x décroissants :
Soit - = p, d'oùj^ = px; il faudra d'abord trouver la
limite de p pour x = <x> .
La substitution donne
x-F (;>)-+-«"/(;>) -H... =o, d'où
et à mesure que x augmente , F (p) s'approche de zéro : donc les valeurs limites de p, c'est-à-dire les valeurs de A, sont des racines réelles de l'équation
Il reste à trouver la valeur de / correspondante à une valeur de k 5 pour cela on posera y — kx = t^ei l'on cherchera la limite de t.
L'équation de la courbe devient, par cette substitution,
^«FU-h- j -hx"/f^-h^) -h ... = 0; mais puisque F {k) = o , on a
0 élant compris entre o et -h i; on a donc
OU
Si m = n + iyX = co donnera pour limite de f , c'està-dire pour valeur de /,
Si m > 71 4- I, on a
Si m <^ « -h I , t n'a pas de limite , et il n\ a pas d'asymptote pour cette valeur de k. Ainsi , en général, l'é-
f(k) quation de l'asymptote sera y = kx — érrk'* fW ^^
rapportant aux termes de degré m — i , et devenant nulle si n <^ m — I : il n'y a pas d'asymptote si n^ m — i.
Si n<^m — I , l'équation de l'asymptote est de la formey — hx = o.
Si , dans le cas de « = m — i , la valeur de k tirée de F (fe) = o satisfaisait aux équations F' (k) = OyJ'{k) =o, l'équation de T asymptote deviendrait indéterminée 5 et Tonne pourrait en tirer l'équation cherchée, parce que le terme en x^"^ devient du même ordre que les deux premiers, et ne peut plus être négligé.
Dans ce cas, Téquation qui détermine la limite de t se mettrait sous cette forme :
.r«-'cp M: 4-*-+... =0,
.r'"~'(p l-\ étant le troisième terme de l'équation proposée.
Divisant par a:'""' et passant à la limite, / sera déterminé par l'équation
r^lM
On agirait semblablement si ces trois nouvelles fonctions devenaient nulles, pour cette valeur particulière de^.
Si n<im — I, et F' (A) = o, on n'a plus nécessairement / = o.
237. Si la courbe est rapportée à des coordonnées polaires, on connaîtra toutes les directions qui peuvent donner des asymptotes , en cherchant toutes les valeurs de B qui donnent à /' une valeur infinie.
Soit a une de ces valeurs de 0, qn cherchera la limite de r sin(9 — a) qui est l'expression de la perpendiculaire abaissée d'un point quelconque de la courbe sur la droite menée par le pôle sous Tangle a avec Taxe. Cette limite sera la distance de cette droite à Tasymptote, et le signe dont elle sera affectée fera connaître de quel côté elle se trouve. Si le produit r sin ((5 — a) croît indéfiniment , il n'y a pas d'asymptote dans cette direction.
On trouvera le même résultat en cherchant la limite
de r (9 — a) ou celle de r sin (ô — a), puisque la limite de
sin (9 — a) ,,
— i ^est lunité.
Soit pour exemple l'équation générale
F(Ô)/^-f./(9) /"»-' -I- A^r^-^-h ... -f.A„ = o, Aa , A3 , . . . , A,„ étant des fonctions quelconques de â.
L'équation F (6) = o fera connaître toutes les directions possibles des asymptotes. Soit a une des racines réelles de cette équation et 0 = a H- 5-, puisque F (a) = o, oa aura F (a -h cî) = (ÎF' (a -h Od) , et Féquation de la courbe devient alors, en divisant par r"*~%
Lorsque r devient infini , il ne reste plus que les deux premiers termes , et l'on trouve
lim.r (0 — a) = lim.r(î =
Si Ton avait/(a) == o, F' (a) = o, on agirait comme dans le cas précédent.
Exemples, — i^. Soit proposé de trouver les asymplotes de la courbe ayant pour équation
a/' -+■ bxf -H cjc' -h df + ex +/= o ;
on a , dans ce cas ,
F (/Jr^fl^'-h bk + c,
f[k)r=:dk ^e.
k= -^—^ — 9 ce qui exclut Tellipse.
L'équation de ces asymptotes devient
dk -h e
X = kx-
2ak-
Le dernier terme devient infini dans le cas de la parabole, et, par conséquent, Thyperbole est la seule courbe du second degré qui ait des asymptotes.
2^. Soit maintenant y = ae*"^, équation de la logarithmique , qui ne rentre pas dans la classe générale considérée ci-dessus , parce que e'"^ n'est pas d'un degré fini par rapport à x.
CALCUL DBS DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, Bt>G. 33 7
On cherchera toujours la limite de -t et ensuite celle de
y — hx.
On trouve immédiatement /r = o*, ensuite la limite àej est zéro, et correspond aux or négatifs. L'asymptote est donc Taxe des x, et dans la direction seule des x négpitifs.
3^« Dans le cas de la courbe, appelée folium de Descartes, et dont l'équation est
y^^-^jc^ — ^^axy .= o, on trouvera une asymptote ayant pour équation
4**. L'équation j*= cos - conduit à/r = Oj/ = ±:i.La courbe a donc pour asymptotes les deux droites
D*'. L équation j=a représente une courbe qui
a Taxe des x pour asymptote, et qui a cela de remarquable, qu'elle passe alternativement d'un côté et de l'autre de son asymptote, jusqu'à l'infini.
6°. L'équation y'=- a sin ~ donnera encore y =:: o pour
l'équation d'une asymptote.
Elle offre en outre une particularité remarquable : elle s'approche indéfiniment de l'axe desy dans la partie comprise entre j)^ = — a, j^ = 4- a. C'est donc là un véritable asymptotisme, puisque la longueur de la courbe augmente sans limite, en se rapprochant indéfiniment d'une droite fixe.
Cette courbe ne diffère pas de celle qu'on obtiendrait en enveloppant sur un cylindre une hyperbole équilatère I. 22
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dont une asymptote serait parallèle au plan de la base, et projetant la courbe résultante sur un certain plan passant par l'axe du cylindre.
7^. Soit maintenant Téquation polaire d'une hyperbole , par rapport à un de ses foyers ,
(«.— cco9 0)r = ^», c= s/a'^^ b^'^
on trouvera
a cos OL = -f Mm, r§ = b.
Les deux asymptotes se trouvjeronl ainsi déterminées. Soit encore la spirale hyperbolique
on trouvera
a = w, lira. r§ == a.
Des asymptotes considérées comme limites des tangentes.
