Zones ayant pour axes un des axes hexaédriques

Il existe quatre de ces zones correspondantes aux quatre axes hexaédriques. Dans ces zones se trouvent les faces :

i ) du leucitoèdre {a : a : \/i a ),

i) de l'hexakisoctaèdre [a : i/o. a : i/3 a),

3 ) de l'hexakisoctaèdre ( a : i/3 a : i/4 a ),

4 ) du dodécaèdre ( a : a : ao a \

La propriété des faces des formes précédentes de se trouver dans ces zones n'est pas mise immédiatement en évidence par leurs formules. La plupart de ces formes se montrent dans la figure 1 1 .

Comme les axes de ces zones se trouvent pa-

rallèles aux arêtes du dodécaèdre, on peut appeler ces zones , zones des arêtes du dodécaèdre.

4- Zones dont les axes sont parallèles à une des diagonales des faces de V octaèdre ( zones diagonales de V octaèdre ).

Les 8 faces de l'octaèdre ont chacune 3 diagonales, ce qui fait en tout il\ diagonales * ; mais ces diagonales sont toujours parallèles deux à deux, de sorte qu'il y a 12 zones de l'espèce dont nous parlons dans ce moment.

Dans ces zones se trouvent les faces:

1 ) de l'hexakisoctaèdre (a : 1/1 a : i/3 a ), 2) du tétrakishexaèdre ( a : 2 a : 00 a ),

3 ) de l'hexakisoctaèdre (a : i/3 a : 1/7 a),

4 ) de l'ikositétraèclre (a : a: i/3 a)

5 ) de l'hexakisoctaèdre (i/3 a : i/5 a : 1/1 1 a)

6) de l'hexakisoctaèdre (a : 1/2 a : 1/4 a )

7) de l'hexakisoctaèdre (a : s/3<7: i/5<z)

On ne voit pas encore immédiatement dans ces formules que les faces se trouvent situées dans une zone diagonale de l'octaèdre. Outre les quatre espèces de zones que nous venons de passer en revue, il existe encore d'autres zones

' On appelle diagonales d'un triangle équilatéral les perpendiculaires abaissées des angles sur les cotés opposés. Dans un triangle isocèle la diagonale est la perpendiculaire abaissée du sommet du triangle sur lu base.

correspondantes aux arêtes des autres formes du système cristallin régulier; mais les zones précédentes sont les plus importantes.

B. Formes hémiédriques.

i . Hémioctaèdre ou tétraèdre. Ce solide a 4 faces, 6 arêtes et 4 angles (fig. a5).

Les faces sont des triangles équilatéraux.

Les arêtes sont égales.

Les angles sont égaux et à trois faces.

L'hémioctaèdre n'a pas de faces parallèles.

Les trois axes octaédriques joignent les points milieux de deux arêtes opposées.

Les quatre axes hexaédriques joignent les centres des faces avec les angles opposés.

Angle dièdre des faces 700, 3a'.

Les lignes qui sur les faces du cristal joignent les points milieux des arêtes occupent la position des arêtes de l'octaèdre; ainsi l'hémioctaèdre se déduit de l'octaèdre, en supposant que les faces alternatives de celui-ci augmentent tellement en étendue, qu'elles fassent disparaître les faces intermédiaires. Maintenant, selon que ce sera l'un ou l'autre système de faces alternatives qui fera disparaître l'autre, on aura deux hémioctaèdres parfaitement semblables, et qui ne sedistinguent l'un de l'autre que par leur position, Ces formes

deviendraient parfaitement identiques par leur position, si on faisait faire à l'une d'elles un quart de révolution. Si l'on a besoin de distinguer les deux hémioctaèdres, on appellera hémioctaèdre de droite celui que forme la face de l'octaèdre qui se trouve à droite de l'arête supérieure, et qui s'avance en avant avec les faces alternatives correspondantes , toutes ces faces étant suffisamment prolongées; et l'on appellera hémioctaèdre de gauche, celui qui est formé par l'autre système de faces. L'arête supérieure de l'hémioctaèdre de droite {fîg- ^5) est parallèle à l'observateur, l'arête supérieure de gauche \jig. 26) fait avec l'observateur un angle de 900. Comme les deux formes sont parfaitement égales, on ne peut pas les distinguer quand elles se présentent isolées, à moins qu'elles ne soient caractérisées par quelque signe particulier, ce qui arrive souvent. Quand cela n'arrive pas, on n'a d'intérêt à les distinguer l'une de l'autre que dans les cas où elles entrent toutes deux à la fois dans des combinaisons; et encore alors est-il indifférent de prendre l'un ou l'autre hémioctaèdre pour hémioctaèdre de droite ou pour hémioctaèdre de gauche. Quand un hémioctaèdre se présente seul dans une combinaison, on le représente toujours comme un hémioctaèdre de droite. La notation des faces de l'héinioctaèdre , et en

général celle des faces de toutes les formes hémiédriques , est la même que la notation des formes homoédriques dont elles dérivent. Si l'on a besoin de représenter la forme hémiédrique elle-même, on fait précéder la notation de la forme homoédrique correspondante par la fraction 1/2. L'on distingue les formeshémiédriques de droite ou de gauche en affectant leurs notations des coefficients r et l1. Les notations des deux hémioctaèdres sont donc :

1/2 r ( a : a : a ) et 1/2 l(a: a : a)

Ces formes se présentent dans le Cuivre gris, l'Helvine et la Blende.

Combinaisons.

Hémioctaèdres de droite et de gauche.

Les faces de l'un des hémioctaèdres se présentent comme faces de troncature des angles de l'autre , fig. 3i (Cuivre gris, Blende).

Hèmioctaèdre et Hexaèdre.

Les faces de l'hexaèdre tronquent les arêtes de Thémioctaèdre {fig. 27). Les faces de l'hémioctaèdre tronquent les angles alternatifs de l'hexaèdre, fig. 37 (Wurfelerz de Cornouailles).

1 Les lettres ?• et / sont les lettres initiales des mots allemands rechts, à droite; links , à gauche.

5o ÉLÉMENTS

Hémioctaèdre et dodécaèdre.

Les faces de l'hémioctaèdre forment des troncatures sur les angles alternatifs du dodécaèdre, comme le représente la/?g. 4^, en y supprimant toutefois les faces a ( Cuivre gris de Schwatz en Tyrol).

Les faces du dodécaèdre forment des pointements à trois faces sur les angles de l'hémioctaèdre; les faces de ces pointements reposent symétriquement sur les faces de l'hémioctaèdre, fîg. 3a (Cuivre gris de Kapmk en Transylvanie, de Dillenbourg, etc.).

Hémioctaèdre , dodécaèdre et hexaèdre.

Dans les combinaisons auxquelles ces trois formes donnent lieu, c'est tantôt l'une, tantôt l'autre qui domine. Tous ces différents cas se présentent dans la Boracite de Lunebourg. Dans ht/ig. 38, ce sont les faces de l'hémioctaèdre qui dominent; dans kxfîg. 4o, ce sont les faces de l'hexaèdre; enfin, dans la^/zg". l\i, ce sont les faces du dodécaèdre.

Dodécaèdre, hexaèdre et les deux hèmioctaèdres.

Dans les combinaisons de l'hémioctaèdre avec le dodécaèdre et l'hexaèdre, on aperçoit quelque-

DE CRISTALLOGRAPHIE. 5l

fois les faces des deux hémioctaèdres, et ce sont tantôt les faces de l'hémioctaèdre de droite, tantôt les faces de l'hémioctaèdre de gauche qui dominent, /?.£>•. 3f) (Boracite de Lunebourg).

a. Hémiikositétraèdre ou tétraèdre pyramidal {fîg. 29). Il a 12 faces, 18 arêtes et 8 angles.

Les faces sont des triangles isocèles.

Les arêtes sont de deux espèces : six arêtes X plus aiguës et plus longues qui occupent les positions des arêtes de l'hémioctaèdre, et suivant lesquelles les faces se rencontrent par leurs bases ; et 1 2 arêtes F plus obtuses et plus courtes qui occupent les mêmes positions que les lignes qui sur les faces de l'hémioctaèdre joignent le centre des faces avec les angles formés par les côtés égaux de ces faces.

Les angles sont de deux espèces : 4 angles symétriques à six faces I, qui occupent les positions des angles de l'hémioctaèdre , quatre angles à trois faces O formés par des arêtes égales, et qui par leur position correspondent aux faces de l'hémioctaèdre.

Les trois axes octaédriques joignent les points milieux de deux arêtes X opposées.

Les quatre axes hexaédriques joignent les angles à six faces avec les angles opposés à trois faces.

Les hémiikositétraèdres sont les formes hémiédriques des ikositétraèdres , et se déduisent

5a ÉLÉMENTS

de ceux-ci lorsque celles de leurs faces qui sont groupées autour des angles hexaédriques alternatifs augmentent tellement en grandeur que les faces intermédiaires disparaissent. Maintenant, selon que l'un ou l'autre des deux systèmes de faces disparaîtra, il résultera deux hémiikositétraèdres différemment placés, qui seront l'un à l'autre ce que sont l'un à l'autre les deux hémioctaèdres dérivés d'un même octaèdre, et pourront par suite se distinguer en hémiikositètraèdre de droite et hèmiikositétrdedre de gauche.

On connaît deux espèces d'hémiikositétraèdres qui dérivent des deux espèces les plus importantes d'ikositétraèdres; leurs notations sont :

r \ji ( « : a : 1/2 a) et / 1/2 (a : a : 1/2 a ) r 1/2 ( a : a : i/3 a ) et / 1/2 (a : a : i/3 a )

Inclinaison des faces qui forment les arêtes: X F

\ji ( a : a : 1/2 a) 1090, 28' i46°, 27'

Le premier ikositétraèdre se présente isolé dans le Cuivre gris de la Zilla à Clausthal, le second ne se présente qu'en combinaison.

Combinaisons.

a. de Vhémiikositêtraèdre i/2 ( a : a : 1/2 <z).

Hèmiikositètràedre et hémioctaèdre , tous deux dans des positions semblables.

Les faces de l'hérriiikosi tétraèdre forment des biseaux sur les arêtes de l'hémioctaèdre, yzg\ 28 ( Cuivre gris ); les faces de l'hémioctaèdre forment des troncatures sur les angles à trois faces O de l'hémiikositétraèdre.

Hèmiikositètràedre et hémioctaèdre dans des positions semblables et dodécaèdre.

Les faces du dodécaèdre forment (Jîg. 3a) des pointements à trois faces sur les angles, mais ces faces présentent ici la forme de rhombes, quand elles sont assez grandes pour atteindre les faces de l'hémioctaèdre , ce qui arrive ordinairement; tandis que les faces de l'hémioctaèdre forment des triangles équilatéraux , et les faces de l'hémiikositétraèdre forment des rectangles, et se présentent comme des faces de troncature très-étendues sur les arêtes formées par deux faces contiguës du dodécaèdre placées sur deux angles différents de l'hémioctaèdre fig. 33 (Cuivre gris de Felsobanya en Hongrie).

La combinaison précédente avec les faces de V hèmiikositètràedre de gauche.

Les faces de cette dernière forme se présentent comme des troncatures très-étroites sur les arêtes formées par deux faces du dodécaèdre cou-

ligués placées sur un même angle de l'hémioctaèdre; elles forment ainsi des pointeraents à trois faces sur les angles de l'hémioctaèdre; les faces de ces pointements reposent sur les arêtes de l'hémioctaèdre 5t/zg. 33. a. ( Cuivre gris de Dillenbourg ).

La combinais on représentée fîg. 4^ avec les faces de l'hémioctaèdre de gauche et de Vhémiikositétuaédre.

Les faces de l'hémioctaèdre de gauche viennent tronquer les angles hexaédriques encore intacts du dodécaèdre dans la combinaison /zg. [\i\ les faces de l'hémiikositétraèdre viennent tronquer les arêtes du dodécaèdre qui touchent les faces de l'hémioctaèdre de gauche, jig. 4i ( Boracite de Lunebourg).

Dans cette combinaison dominent tantôt les faces de l'hémioctaèdre de gauche, tantôt les faces de l'hémioctaèdre de droite.

o. De llièmiikosiiéti aèdre iji [a : a : a).

Les hèiniikositètraedres 1/2 (a : a: ï/3 a), et \j'i ( a: a : \j-i a ) avec t hémioctaèdre , tous les trois dans des positions semblables.

Les faces de l'hémii kositétraèdre \/i(a: a: i/3 a)

DK CRISTALLOGRAPHIE. 55

forment des biseaux sur les arêtes de l'hémioctaèdre dans la combinaison représentée y%. 28, de telle manière que l'hémioctaèdre porte deux biseaux superposés sur ses arêtes (Cuivre gris de la Zilla à Clausthal).

Hémiikositètîxiedre 1/2 (a: a: j/3 a), et dodécaèdre

Les faces de l'hémiikositétraedre forment des biseaux sur les angles octaédriques du dodécaèdre, de telle manière que les faces de ces biseaux reposent sur deux arêtes opposées du dodécaèdre; et si, comme cela arrive ordinairement, les faces de l'hémiikositétraedre s'étendent jusqu'aux angles hexaédriques du dodécaèdre, alors les angles hexaédriques alternatifs deviennent des angles solides à six faces , tandis que l'autre système d'angles hexaédriques alternatifs reste à trois faces (Blende de Kapnik en Hongrie).

Hèmitriakisoctaèdre (/zg. 35).

Cette forme a douze faces, vingt-quatre arêtes et quatorze angles.

Les faces sont des quadrilatères symétriques qui sont semblables à ceux de l'ikositétraèdre.

Les arêtes sont de deux espèces : douze plus aiguës et plus longues X, qui ont deux à deux des positions semblables à celles des arêtes de l'hémioctaedre; et douze plus obtuses et plus

courtes G, qui occupent des positions semblables à celles des lignes qui, sur les faces d'un hémioctaèdre , sont menées du centre des faces vers le milieu des arêtes.

Les angles sont de trois espèces : six angles symétriques à quatre faces A, qui occupent les positions des angles de l'octaèdre; quatre angles réguliers à trois faces qui occupent la place des angles de l'héniioctaèdre; enfin quatre angles réguliers à trois faces qui correspondent par leur position aux faces de l'hémioctaèdre.

Les diagonales des faces qui joignent les angles égaux ont une position semblable à celle des arêtes de l'octaèdre; d'après cela, les hémitriakisoctaèdres sont les formes hémiédriques des triakisoctaèdres, et dérivent de ceux-ci quand les faces qui sont groupées autour d'un système d'angles hexaédriques alternatifs augmentent tellement en étendue que les faces de l'autre système disparaissent entièrement. On a encore évidemment ici deux hémitriakisoctaèdres correspondants à un même triakisoctaèdre (fig. 35 et 36); ces deux formes sont entre elles comme les deux hémioctaèdres dérivés de l'octaèdre.

On ne connaît jusqu'à présent qu'une seule espèce d'hémitriakisoctaèdre , savoir, celle qui dérive de la première espèce de triakisoctaèdre, et qui est représentée par les notations :

r. 1/2 ( a : a : 3/2 a), et / (a : a : 3/a a).

Inclinaison des faces qui forment les arêtes

Ces hémitriakisoctaèdres ne se sont pas encore

présentés isolés.

Combinaisons.

Hémitriakisoctaèdre et hèmiikositètraèdre [a : a : 1/2 a ) dans des positions semblables , et dodécaèdre.

Les faces de l'hémitriakisoctaèdre se présentent dans la combinaison de l'hémiikositétraèdre et du dodécaèdre, représentée^/?^. 33 (en y supprimant les faces de l'hémioctaèdre), comme des troncatures sur les arêtes G de l'hémiikositétraèdre, /îg. 34 (Cuivre gris de Dillenbourg).

Hémihexakisoctaèdre (Jîg. 43).

Cette forme a vingt-quatre faces, trente-six arêtes et quatorze angles.

Les faces sont des triangles scalènes.

Les arêtes sont de trois espèces : douze arêtes plus aiguës qui occupent une position semblable à celle des arêtes X de Thémitriakisoctaèdre; douze arêtes plus obtuses et plus longues F, qui ont une position semblable à celle des arêtes de l'hémiikositétraèdre, et douze arêtes plus obtuses

et plus courtes qui correspondent par leur position aux arêtes G de l'hérnitriakisoctaèdre.

Les angles sont aussi de trois espèces : quatre angles symétriques à six faces I , qui occupent la position des angles de l'hémioctaèdre ; six angles symétriques à quatre faces A, qui occupent la position des angles de l'octaèdre, et quatre angles symétriques à six faces O, qui occupent la position des angles O de l'hémiikositétraèdre et de l'hérnitriakisoctaèdre.

Les hémihexakisoctaèdres sont les formes hémiédriques des hexakisoclaèdres, et dérivent de ceux-ci lorsque les faces groupées autour des angles hexaédriques alternatifs s'étendent assez pour faire disparaître les faces de l'autre système d'angles hexaédriques. Les deux formes hémiédriques de chaque hexakisoctaèdre sont entre elles comme les deux formes hémiédriques de l'octaèdre.

On ne connaît jusqu'à présent que deux espèces d'hémihexakisoctaèdres ; leurs notations sont :

/•. 1/2 (a : 1/2 a : i/3 a) et /. 1/2 [a : 1/2 a : i/3 a). r. ij-i. [a : i/3 a : r/5 a) et /. 1/2 (à ; i/3 a : j/5 a).

Inclinaison des faces qui forment les arêtes X F G

(a: \/ia: ifd a) 1 io°, 55' i58°, 1 3' 1 58° i3'. (a: i/o a: j/5 a) 1220, 53' i5a", 20' i52°, 20'.

DE CRISTALLOGRAPHIE. 5o,

La première espèce est la forme hémiédrique d'un hexakisoctaèdre connu; mais l'hexakisoctaèdre de la seconde espèce n'a pas encore été rencontré jusqu'ici. Les formes bémiédriques des autres hexakisoctaèdres mentionnés ci-dessus ne sont pas non plus connues jusqu'à présent.

Les deux hémihexakisoctaèdres que l'on rencontre dans la nature sont caractérisés par cette propriété, que les inclinaisons des faces qui forment les arêtes F et G sont égales, et que par suite les angles O sont réguliers.

Le ierhémihexakisoctaèdre i/a(<z: i/a a: i/3 a) , se trouve dans la combinaison représentéeyzg-. 33. Comme il se trouve être la forme hémiédrique d'un tétrakisdodécaèdre, il arrive que ses faces forment des troncatures obliques sur les arêtes formées par les faces d, et 0/2 (Cuivre gris d'Ilanz sur le Rhin ).

Le 'ie hémihexakisoctaèdre 1/2 (a : i/3 a : i/5 a) se présente plus fréquemment, et se trouve dans la combinaison de l'hexaèdre , du dodécaèdre et des deux hémioctaèdres (/ig. 3g). Les faces de rhémihexakisoctaèdre se présentent comme faces de troncature des angles de combinaison, formées par les faces de l'un des hémioctaèdres (celui de droite) (/%'. 3o,, a). Comme ces dernières faces forment des troncatures droites sur les angles O de l'hémihexakisoctaèdre, qui clans

ce cas se trouvent formés par des arêtes égales, les faces de Fhémihexaltisoctaèdrë coupent les faces de l'hémioctaèdre , suivant des arêtes qui sont parallèles aux diagonales de ces faces; et les faces de l'hémioctaèdre formeraient des hexagones réguliers , si les faces de l'hémihexakisoctaèdre qui sont groupées autour de chaque angle étaient assez grandes pour se rencontrer toutes en un même point.

Les faces de l'autre hémioctaèdre (celui de gauche) sont enveloppées par les faces de l'héihiikositétraèdre (a : a : i/a d),Jig: 3cj, b (Boracite de Lunebourg).