Superposition des mouvements vibratoires

On démontre en mécanique qu'un nombre quelconque de mouvements vibratoires peuvent exister simultanément dans un même milieu et se superposer sans se troubler mutuellement, à <;ondition que leurs amplitudes soient suffisamment faibles.

MOUV£>I£KT VIBRATOIRE. 25$

Le déplacement et la vitesse d'un point quekonqtie sont ahrs^ les résultantes géométriques des déplacements et des vitesses qui lui seraient communiqués au même instant par les différents mouvements partiels agissant isolément. Les effets de ces moavements partiels pourront donc s'ajouter ou se détruire plus oa moins complètement suivant les circonstances.

190. n est à remarquer que la superposition d'un nombre quelconque de mouvements vibratoires parallèles et de même période se résout toujours en une vibration unique de même période également.

Soient en effet

u, =a, sinÇ(« — cpj u, =a,sin^(< — cpj

les mouvements composants, d'amplitudes et de phases quelconques.

Leur résultante sera

U = «, +^<. = a,sin-(«— <p,) + o.sm — (< — (p,) + ...

= 8in^(a, cos 2ïr ^ + a, cos 2ïr ^ + ...)

— cos^(a,8in27r^ + a,8in2«^+...).

Nous pouvons toujours choisir deux quantités A et i telles que l'on ait

a, cos 27r ^ + a, cos 27r -^ -f ... = ^ cos 27r 7 a, sin 27r 7- + ût, sin 27r -^ + ... = A sin 2n -

car, eu ajoutant ces deux équations après les avoir élevées an carré, il vient

-4* = ^a, cos'27r^* +a,C08 27r^+...)* + (a, sin27r^-f a,sin 27r^.,.)% tandis qu'en divisant la seconde par la première on trouve

^ a, sin 27r ^ -f a, sin 27r ^ ... a, cos 27r ^ + a, cos 27r ^ ...

La résultante U peut alors s'écrire

U = A ^sin 2n { cos 2i: - — cos 2i:{ sin 27r 7) ,

c'est-à-dire

U = ^sin^(f— *).

La résultante est donc une vibration simple dont ^ et 4> déterminent l'amplitude et la phase.

191. Interférences. — Considérons le cas le plus simple, celui où le point reçoit simultanément deux vibrations parallèles de même amplitude et de même période. Si ces deux vibrations lui arrivent en coïncidence de phase, elles lui apportent à chaque instant des vitesses de même sens qui s'ajoutent ; mais si les deux vibrations sont en discordance de phase, les deux vitesses sont constamment égales et de signe contraire, leur résultante est nulle, et le point reste en repos \

Si donc la lumière consiste en un mouvement vibratoire, il pourra se faire que les effets de deux sources lumineuses se détruisent mutuellement, et que de la lumière ajoutée à de la lumière puisse en certains points de l'espace produire de l'obscu-

r. YcuNO, Phil. Trans. Isn2, 31.

MOUTBMKMT VIBRATOIBX. 255

rite. Cette conséquence, paradoxale au premier abord, est d'accord avec les faits expérimentaux. Les phénomènes de ce genre sont désignés sous le nom de phénomènes éUnterférences.

Supposons que dans un même milieu se trouvent deux centres de vibrations très voisins A, et A. (fig. 348) ayant ^«- ^*®exactement le même mouvement avec une différence de phase nulle ; le déplacement étant représenté pour tous deux par

w = a,, sm — <

un point B quelconque, pris à une distance très grande, recevra de A, une vibration

u, =a8inÇ(< — TJ

et de A, une vibration sensiblement parallèle et d'amplitude sensiblement égale

tt, = asmÇ(« — T.)

T, et T, étant les temps employés par le mouvement vibratoire pour parcourir les chemins A,B et A,B. Le déplacement total de B sera, d'après ce qui précède :

et l'amplitude de la vibration résultante sera donnée (§ 190) par la formule

A' = a' (cos 2îr5 + cos 2ir ^)' + «' (sin 27t ^ + sin27t 7')'

ou, en posant T, — T, = 6 :

^• = 2a' + 2a'cosÇe.

Si 0, la différence des deux trajets, est égale à un nombre

266 PBOPRlÉTis OPTIQUES.

pair 2k de demi-périodes, ona6s£.2fc^;cos-^0=cos 2ibir = 1 ; ^' =: 4a% et ^ = 2a ; le déplacement du point B est la somme des deox déplacements partiels, et deux fois plus grand que si le mouvement ne provenait que d'un seul des points vibrants.

Si 6 vaut un nombre impair 2k -j- 1 de demi-périodes 6 = (2A;+ 1)Ij onacos^e = cos(2*;+l)7r=-l,d'où^'=0;les deux mouvements àe détruisent mutuellement, le point B reste en repos.

On voit donc que les mouvements envoyés par A^ et A, s'additionnent ou se retranchent en un point B, suivant que la différence 0 des temps qu'ils emploient pour atteindre ce point est égale à un nombre pair ou impair de demi-durées d'oscillation. Nous dirons, pour abréger, qu'il y a dans le premier cas interférence positive au point B, et dans le second cas itUerférenée négative.

Il en serait évidemment de même si la vibration, au lieu de provenir de deux sources en coïncidence de phase, provenait d'une seule et même source, mais arrivait au point B par deux chemins différents.

192. Franges de Young\ — Dans le cas de la lumière, on devra recourir à ce dernier procédé, car nous n'avons aucun moyen pour forcer deux sources lumineuses à vibrer en coïncidence de phase.

Une des plus simples parmi les expériences d'interférences est celle des franges de Young, que nous décrirons sous l'une des formes que lui a données Fresnel.

* ï. Young, Lectures on natural pMosophij^ Londres, 1807. 464. — Fresnel, Mém, deVImiitut, 1821, V, 839: Œuvres, I, 330.

En réalité, cette expérience est plus complexe que nous ne le supposons ici, parce que les ondes qui interfèrent sont limitées par les bords du biprisme; à l'interférence proprement dite se joint un phénomène de diffraction (§ 203). H.-F. Weber, Vierteljahrsch, d. Zûricher fiaturf, Gea. 1879.

HOUVKMBKT VIBaATOIBB. 2b7

Soit  on point iDmineax, recevons (fig. 349) la lunière qu'il envoie snr on écran MM perpendicolaire aa plan de la figure, et entre le point  et l'écran plaçons nn biprisme P, formé de deoz prismes de verre très obtus accolés en sens inverse. Les rayons partis de  se trouvent, après lenr passage à travers les denx moitiés da biprisme, dans les mêmes conditions qne s'ils provenaient de deox points lominenx Â, et Â, vibrant en coïncidence de phase.

Du miliea de la ligne Â,Â, abaissons une perpendiculaire ÂC sur l'écran; le point C étant à égale distance des deox sources A, et „ la âifiërence des deox trajets est nulle et le point G est éclairé. En un point E tel qne

Fig. S49.

le retard qui existe entre les deux monvements est d'nne demipériode, U y a interférence négative et obseurité. En un point G tel que

lC — A.C =

il y aura de nouveau interférence positive et ainsi de suite. Grénéralement, on aura de la lumière aux points N de MM pour lesquels

6 = é^ — ^ = 2k^ ou A.N — A,N = 2ft|.

et de robscorité là où

e = é^^ = (2fc + i)|

ou A,N — A,N = (2fc + 1) ~.

On observera donc sur MM un point brillant en C, puis] à droite et à gauche une série de points alternativement brillants et obscurs.

193. Mesure des longueurs d'ondes des vibrations lumineuses. — D est clair que si Ton mesure les distances A, A, et AC, et la distance ON, qui sépare sur la ligne MM une frange brillante ou obscure d'ordre quelconque k du centre C, on pourra calculer la différence A,N — A,N des deux chemins, et en déduire, d'après la formule ci-dessus, la longueur d'onde X de la lumière employée.

On trouve que l'écartement des franges, et par suite la valeor de X, varie avec la couleur de la lumière émise par la source, et l'on est ainsi conduit à admettre que l'éther peut transmettre une infinité de vibrations différant les unes des autres par leurs longueurs d'onde et par leurs durées d'oscillation. Chacune d'elles produit sur notre œil une impression de couleur déterminée, exactement comme en acoustique les sons de hauteurs différentes correspondent à des vibrations de périodes et de longueurs d'ondes différentes.

L'expérience et surtout l'observation de phénomènes astronomiques montrent que dans le vide toutes les couleurs ont sensiblement la même vitesse de propagation V, laquelle est d'environ 300,400 kilomètres par seconde. La formule V = X/r (§ 186) nous montre alors que les durées d'oscillation r sont proportionnelles aux longueurs d'onde X, et nous permet de les cal-

<;uler. y étant très grand et les longueurs d'onde X, mesurées par le procédé ci-dessus ou par d'autres procédés analogues, étant très petites, on en déduit pour les durées d'oscillations des valeurs qui sont excessivement petites. On trouve, par exemple pour le rouge, X = 0™™,000760 et 1/r, le nombre d'oscillations par seconde, = 395 trillions; pour le jaune, X = 0,000589 et 1/t = 510 trillions; pour le bleu, X = 0,000397 et 1/r = 757 triUions, soit 757 X 10^*.

L'intensité de la lumière, c'est-à-dire la vivacité de la sensation qu'elle nous fait éprouver, peut être regardée comme proportionnelle à la force vive du mouvement vibratoire, laquelle est elle-même proportionnelle au carré de l'amplitude pour des vibrations de même période.

PKOPBliTiB OPTMUm.