DE LA CONSTRUCTION D'HUYGENS

194. Principe d'Huygens ' . — Considérons an point lami- Deux S et étudions l'effet qu'il produit sar an point éclairé R situé à une distance quelconque (fig. 350); les deux points peuvent être placés dans un milieu transparent quelconque, isotrope ou non, et la lumière, pour aller de S & R, peut aroir à traverser un nombre quelconque de milieux différents, on sabir des réflexions quelconques è. la surface d'antres milieux . Prenons une surface fermée K quelconque, entourant S, mais laissant R en dehors d'elle, de sorte que ^>g' 360. la lumière de S doive la tra-

verser pour parvenir en R; nous pouvons considérer chacnu des points de cette surface, après qu'il a reçu l'ébranlement venu de S, comme devenant à son tour un centre d'ébranlement, et

' UcTOEMS, Traité de la lumière, Leyde 1690.

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le moayement du point R comme la résultante de tous les mouvements partiels qui lui sont enyoyés par ces différents points. D est évident que puisque S agit sur R par Tintermédiaire du milieu interposé, l'effet produit ne sera pas changé si l'on supprime S, et si l'on donne aux divers points de la surface E le mouvement même qu'ils recevaient de S. Rien d'ailleurs ne nous autorise à admettre a priori que chacun de ces points envoie de la lumière tout autour de lui comme s'il était seul en vibration ; la loi du rayonnement peut être modifiée par le mouvement des points voisins, mais cela n'influe pas sur ce que nous avons à dire.

195. Chemin de plus prompte arrivée'. — SoitSAR un chemin tel qu'en le suivant la lumière mette moins de temps pour parvenir de S à R que par tout autre chemin très voisin. Soit A (fig. 350) le point où ce chemin de plus prompte arrivée coupe la surface K. Décrivons sur la surface K, et tout autour du point A, une série de courbes 1, 2, 3 . . . telles qu'en appelant a^ un point quelconque de la courbe 1, a, un point quelconque de la courbe 2, et ainsi de suite, la lumière emploie pour aller de S à R un temps plus long d'une demi-période en passant par a, qu'en passant par A ; en passant par a, qu'en passant par a, , et ainsi de suite.

Ces courbes partagent la surface en zones élémentaires, et les mouvements envoyés à R par deux zones consécutives ont

^ Le mode de raisonnement employé dans ce paragraphe a été donné par Frisnil, Note sur la théorie de la diffraction (1818). Œuvres, I, 171. — La question de la propagation de la lumière suivant le chemin de plus prompte arrivée a été traitée rigoureusement par Kirchuoff, Wied. Ann, 1883, XYIII, 663; Optiky Leipzig, 1891, 22. Le calcul de Eirchhoff repose implicitement sur le manque de concordance des vibrations qui ont traversé des points un peu écartés sur la même zone élémentaire (§ 197). On doit à M. Mascart, Traité d'Optique, Paris 1889, I, 24, d'avoir particulièrement insisté sur ce défaut de concordance.

262 PBOPBIÉTis OPTIQUES.

évidemment une différence de phase d'une demi-oscillation* Deux zones consécutives envoient constamment à R des vitesses de signes contraires.

Si donc nous représentons par v la vitesse totale reçue par le point R et par t;,, t;,, t;, ... les vitesses partielles employées par chacune des zones Aa,, a.a^y a^a^ ..., nous aurons

La vitesse v sera donnée par une série de termes alternativement positifs et négatifs. Or on peut démontrer que ces termea vont en décroissant rapidement ainsi que leurs différences, de sorte que la valeur de la série n'est pas sensiblement altérée si on la réduit à ses premiers termes jusqu'à un certain rang suffisamment éloigné, et si l'on supprime tous ceux qui viennent après. Mais ces termes, que nous pouvons supprimer sans changer l'éclairement de R, représentent l'effet des zones élémentaires qui ne sont pas dans le voisinage immédiat du point A. L'effet (le la surface K sur le point R se réduit donc sensiblement à l'effet de A et des zones élémentaires qui n'en sont pas trop éloignées. Si nous interposons un écran percé d'une ouverture qui laisse libres un certain nombre des zones élémentaires autour de A, l'éclairement en R ne sera pas modifié. Si, au contraire, nous interposons un écran qui intercepte seulement la portion de la surface K voisine de A, en laissant libre le reste, le point R cessera d'être éclairé comme si nous avions intercepté Tonde tout entière.

Le nombre des zones élémentaires qui exercent une action appréciable sur R peut être considérable, mais ces zones sont en général très étroites et de dimensions comparables aux longueurs d'onde des vibrations considérées ; l'espace efficace total sera très petit en réalité, et on pourra dire que le point JR est éclairé seulement par un rayon lumineux qui suit le chemin de

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plus prompte arrivée : si l'on intercepte ce rayon par on petit écran, R cesse d'être éclairé ; si on laisse passer ce rayon par une petite ouverture percée dans un écran, R reçoit de la lumière comme s'il n'y avait pas d'écran.

♦ 196. Grandeur des zones élémentaires. — Pour reconnaître que la série v ci-dessus est convergente, nous évaluerons d'abord la surface des zones élémentaires successives. Par le point A, nous menons sur la surface E deux lignes OX et OY se coupant à angle droit, que nous prenons pour axes de coordonnées et que, sur un espace très grand par rapport aux longueurs d'ondes, nous pouvons sans erreur sensible confondre avec des lignes droites. Soient xety les coordonnées d'un point quelconque a^ par rapport à ces axes. Si nous appelons T^ le temps employé par la lumière pour aller de S à R en passant par le point a^, nous aurons généralement

Nous admettons que T^ est une fonction continue de la position du point a^j de telle sorte qu'un déplacement très petit de a^ ne produise qu'un changement très petit dans la valeur de T^.

Appelant T^ la durée du trajet suivant SAM, nous pouvons alors, pour les positions de a^ voisines de A, développer T^ par la formule de Maclaurin et arrêter le développement aux termes du second degré en 2; et y :

Nous supposons que A est situé sur le chemin de plus prompte arrivée. T^ est donc un minimum, (^)o®* (^)o ^^^^ ^uls ; par un

264 PROPRlÉTâs OPTIQUES.

choix convenable des axes OX et OY, on peut faire disparaître le terme en ocy^ et il reste une relation de la forme

2(T — T,) = Ma;' + Ny';

les courbes 1, 2, 3 ... correspondent àT — T^ =5, 2 2,3^... sont donc des ellipses ayant pour demi-axes

et embrassant des aires

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