IM

or IM est le rayon vecteur de l'ellipse ÂM'A dont les axes principaux sont lA = V, et IM' = V,. On a donc

1 cos' g sin' a ÏW ~ V/ "^ V„'

et l'on en déduit sin J, =

C0S'a+ «„' sin' a; (2)

J, est l'angle limite et », l'indice extraordinaire. Si a = 0 (face réfringente normale à l'axe)

sin J( = — .

Si « ^ 90° (face réfringente parallèle à l'axe)

sm J, = — = sin J„

les deux rayons atteignent ensemble leur limite de rétiexion totale.

Lorsque le plan d'incidence est perpendiculaire à la section principale, on a de même

sin J. = jc ;

IC est le rayon équatorial de Fellipsoïde et est égal à V«, qaelle que soit l'orientation a de la face. On trouve donc toujours

V" w sin J, = ^ = -^ . (3>

La détermination expérimentale des angles limites maxima et minima de réflexion totale sur une seule face quelconque permettra donc de calculer par les formules (1), (2), (3) les deux^ indices principaux n^ et n«, et l'inclinaison a de la face par rapport à l'axe du cristal.

246. Réflexion totale à la surface des cristaux à deux axes ' . — L'intersection G du plan réfringent et de la^ surface de l'onde est une courbe à deux branches dont la forme varie beaucoup avec l'orientation du plan réfringent par rapport aux axes d'élasticité. Mais les quatre rayons vecteurs maxima et minima de cette courbe jouissent dans tous les cas de la propriété remarquable que trois d'entre eux sont respectivement égaux aux trois vitesses principales.

Gardant en effet les notations du § 230, nous nous rappelons que la nappe extérieure de la surface de l'onde coupe le plan YZ suivant un cercle de rayon a ; que la nappe intérieure coupe le plan XY suivant un cercle de rayon c; enfin que le plan XZ est coupé suivant un cercle de rayon h qui appartient en partie à la

* Ch. SoRBT, Archives des se. phys. et nat. 1888, XX, 263. — Les résultats du § 246 ont été donnés par M. F. Kohlrausoh, Wied. Ann. 1878, IV, 1, pour une face parallèle à une section principale et incomplètement pour une face quelconque.

318 PROPRIÉTÉS 0PTIQUS8.

nappe intérieure et en partie à la nappe extérieure. Un plan diamétral quelconque coupant forcément les trois plans principaux, il est clair que son intersection avec la surface de Tonde rencontrera ces trois cercles, et aura un rayon vecteur égal à a en un point appartenant à la branche extérieure, un rayon vecteur égal à c en un point appartenant à la branche intérieore, et un rayon vecteur égal à & en un point appartenant à Tune on à l'autre des deux branches suivant la position du plan diamétral.

On sait d'ailleurs que les rayons vecteurs de la nappe extérieure de la surface, et naturellement aussi de la courbe extérieure de l'intersection, sont compris entre a et 6; et que ceux de la nappe intérieure et aussi de la courbe intérieure sont compris entre b et c.

On en conclut que le rayon vecteur a est un maximum poni^ la courbe extérieure, le rayon vecteur c un minimum pour la^ courbe intérieure, et le rayon vecteur b un minimum on un. maximum suivant qu'il appartient à la courbe extérieure ou à l^* courbe intérieure.

Il en résulte qu'en substituant à J dans la formule ci-dessus

sin J =

les quatre valeurs minima et maxima des angles limites de réflexion totale que Ton peut observer sur une face quelconque du cristal, trois des valeurs de V qui s'en déduisent et les valeurs correspondantes de n^ sont respectivement les trois vitesses principales et les trois indices principaux du cristal pour la lumière employée. Le plus grand et le plus petit angle limite donnent toujours le plus grand et le plus petit indice, tandis ([ue l'indice moyen correspond à Tun des deux angles limites intermédiaires. Pour faire disparaître cette indétermination, il suffira de répéter les mesures sur une seconde face différemment orientée ; on retrouvera sur cette nouvelle face les trois

mêmes valeurs utiles de l'angle limite, tandis que la quatrième, qui est sans emploi, sera différente et facile à reconnaître'.

Nous n'aborderons pas ici l'étude des particularités singulières que présente la réflexion totale dans le voisinage des axes optiques. Ces particularités sont rarement observables et n'ont guère d'importance pratique.

247. Mesure des indices de réfraction par la réflexion totale ' . — Résumant les résultats que nous venons d'obtenir, nous voyons que lorsqu'un corps solide monoréfringent d'indice n est en contact par une face plane avec un milieu plus réfringent d'indice connu |ul, la mesure de l'angle limite de réflexion totale J permettra de déterminer n par la formule

n = ^ sin J.

Si le corps est biréfringent, on obtient en général deux angles limites dont la valeur change pour une même face avec l'azimut du plan d'incidence. Si donc, sans changer la position absolue du plan d'incidence, on fait tourner la lame que l'on étudie autour d'un axe perpendiculaire à son plan, les angles limites passent par une série de valeurs, qui se reproduisent identiquement à chaque demi-tour de la lame ; quelle que soit l'orientation de la face étudiée dans un cristal uniaxe ou biaxe quel-

' Si l'on détermine expérimentalement non seulement les rayons vecteurs maxima et minima de la courbe G, mais aussi leurs azimuts par rapport à une arête du cristal, on peut en déduire l'orientation des axes d'élasticité. M. Lave- NiR, BM. Soc. min. 1891, XIV, 100, a montré que l'on arrive au même résultat, avec beaucoup plus de précision, en déterminant les grandeurs et les azimuts de six rayons vecteurs pris dans le voisinage des maxima et minima.

^ La méthode de la réflexion totale pour la mesure des indices a été proposée par Laplaoe, Mécanique célérité, 1800, IV, 241, et appliquée en 1802 par WoLLASTON, Phil. Trans. 1802, 365. Utilisée de diverses manières jusqu'en 1877, elle a pris une grande importance depuis que M. F. Eohlrausch a fait connaître son réfractomètre (§ 250).

320 PKOPBIÉTÉS OPTIQUES.

conque, ce soDt les maxima et les minlma de ces Taleon des angles limites, qai, introdaits à la place de J dans la formule, donnent immédiatement les indices principaux du cristal. L'extrême simplicité théorique de ce procédé, qai n'exige en tout cas que la taille d'une surface plane d'orientation quelconque, donne une ftraude importance à sa réalisation expérimentale'.

248. D'une manière générale, la mesure de Fangle limite. peut se faire de deux manières, par réflexion et par réfraction. Par réflexion, on fait tomber la lumière SI sar la face anté — rieure MM' de ta lame C à étudier; le rayon réfléchi (fig. 384^ augmente brusquement d'intensité lorsque, en augmentant pro — gressivement l'incidence, orm arrive à l'angle limite. En d'antres termes, si l'on suppose qn« la lumière incidente vienne en même temps de toutes les directious comprises dans l'angle MIN, la lumière réfléchie sera plus intense dans les directions Fi<! s»'» comprisesdausl'angleM'IJqne

dans les directions comprises dans l'angle NU. Ce procédé a l'avantage de n'utiliser que la face réfléchissante elle-même, et d'être absolument indépendant de la structure et de la forme da reste du corps étudié. Son seul inconvénient provient de ce que la différence d'éclairement des deux régions MU et NU est souvent assez peu sensible et de ce que la limite de séparation J est souvent peu nette.

Par réfraction, on l'ait arriver la lumière incidente dans le

ont rinfliiciiro du m"'\e de palissage et de Triât ilea surfaces, vojm -, B-ill. Soc. min. 18!M, XIV, ISO; — Ch. Sorit, Archive/^ dei .Se. phy». . l-iiOl. XXVI, 541.

corps à étudier de manière qa'elle se réfracte à travers la face plane (âg. 385). Si les rayons incidents ont tontes les directions comprises dans l'angle N'IM, il y anra de la lumière réfractée dans tontes les directions de l'angle NU, et point de lumière da tout dans l'angle M'IJ. La limite sera donc beaucoup pins facile à reconnaître que par l'autre procédé. En revanche, il faut que le corps soit transparent et que sa forme permette à la lumière incidente de raser la face plane MM', ^- '*"■

S'il est biréfringent et doit être observé dans divers azimutsTdu plan d'incidence, il faut, pour que les conditions restent les mêmes, qu'il ait la forme d'un cylindre droit à base circnlaire; la méthode est alors moins simple et perd ainsi une grande partie de ses avantages.

249. La face réfléchissante doit être en contact avec un milieu plus réfringent.

On peut immerger le corps dans nn liquide convenablement choisi. Cette disposition a l'inconvénient d'exiger l'emploi d'une assez grande quantité de liquide; pratiquement, on est à peu près limité au sulfure de carbone ' , dont l'indice pour les rayons jaunes de la lumière du sodium est égala 1,62839 à 19°, ou an bromure de naphtaline', dont l'indice est 1,66264 à 8° C, et on ne peut étudier les corps dont l'indice est plus élevé que celui de ces liquides. De plus, l'indice ^ du liquide, qui entre dans la formule, diminue rapidement qnand la température

■ DoKT, BuU. Soe. min. 1886, VIII, 271. ' A. FocK, Zeitgeh. f. Krytt. 1S80, IV, 590.

823 PBOPRIÂTÉB OPTIQUES.

s'élève (0,00045 par degré poar le bromore de naphtaline; 0,00082 poar le sntfnre de carbone), ce qui nécessite des corrections an pen douteases, ou l'emploi de métbodes de comparaison qai perdent da temps.

On peat aussi remplacer le liquide par nn bloc de verre convenablement taillé, présentant nœ face plane snr laquelle on applique la lame à étudier en interposant une goutte de liqaide. Le verre et le liquide doivent être tons deox plus réfringents que la lame. Soient Y', Y", V", les vitesses de la lumière *''<- ^^^- dans la lame, dans le verre et dans

le liquide. Au moment où se produit la réflexion totale k la surface de la lame, on a(fig. 386)

sin J sÎD J

sin J'

d'où

sin J = ^, =

p étant l'indice du verre. L'angle limite est le même que si la lame était directement en contact avec la surface du verre.

On peut employer des verres très réfringents et des liquides beaucoup plus réfringents que le sulfure de carbone, da bromure d'arsenic dont l'indice est 1,780, une solution d'iode et (le soufre dans l'iodure de méthylène (n = 1,85)', ou des corps analogues qui ue pourraient sans inconvénient être mani(''s en graude quantité. L'indice du verre, qui entre seul en ligne de compte, varie fort peu avec la température, il n'y a, le

, Dus Tolalrefleclomter, M.

bAflbxion totale. 32S

plus souvent, pas de correction à faire. Enfin la lame cristalline, appliquée contre le verre, se place d'elle-même dans la position qu'elle doit avoir, et l'on est dispensé d'un réglage assez délicat. En revanche, les deux surfaces que le rayon doit traverser rendent souvent la limite de réflexion totale moins distincte que dans l'autre procédé, à moins que la lame ne soit excessivement plane et bien polie ; ce défaut est encore augmenté par le fait que, le plus souvent, la lame ne couvre pas toute la surface du verre : la lumière réfléchie par la partie non couverte de celui-ci tend à masquer les faibles différences d'intensité de la lumière réfléchie par la lame. Les palliatifs que l'on peut employer, en couvrant complètement le verre de liquide réfringent, en choisissant convenablement ce liquide dans chaque cas, ou en déposant un enduit noir sur les portions non utilisées, sont insuffisants et incommodes. H faut en général recourir au procédé par réfraction. Enfin, le calcul est généralement plus long parce qu'il faut tenir compte de la réfraction des rayons au sortir du bloc de verre.

250. Réfractomètre de M. F. Kohlrausch (fig. 387) \ — Un vase en verre V (fig. 388) fermé antérieurement par une glace plane G, contient le liquide réfringent. Le couvercle de ce vase est formé par un cercle gradué horizontal, sur lequel se meut un vemier N, lié à l'axe vertical qui porte la lame à étudier M; la face réfléchissante doit être parallèle à cet axe. Un écran £ de papier huilé, éclairé par derrière à l'aide d'une flamme monochromatique, envoie de la lumière diffuse sur la lame et l'on reçoit les rayons réfléchis par celle-ci dans une

' F. KoHLBAVSOH, Vûrk. d,phy8, med, GeseUsch- Wureburg^ 1877, XII; Wied, Afm. 1878, rV, 1 ; 1882, XVI, 609 ; — (voyez W. Kohlrausch, Wied. Ann. 1879, VI, 86; Vn, 427; — A. Fock, ZeUsch, f. Kryst. 1880, IV, 689 ; — J. Norrin- Bifto, Md. 1888, XXXTV, 848 ; — Pulprich, N, Jahrb. 1887, Beil. Bd, V, 167).

824 PBOftatri» omiajss.

petite looette, réglée pour l'inilm, qui est fixée en regard de Ift glace 6, et qui porte un réticule à son foyer. Lorsque la nor^ nale à la lame fait arec l'axe optique de la lunette un angle égat à l'angle limite de réflexion totale, on voit le champ de la lanette partagé en deux parties inégalement éclairées, dont la ligne de séparation passe sur le réticule'. En répétant le pointé de l'autre côté de l'appareil après avoir déplacé convenablement Técran et la source de lumière, et après avoir amené la normateMN en MN', l'angle NMN', dont on

Fig, 38T. Fig. SSa.

aura fait tourner la lame, donnera immédiatement le double de l'angle limite cherché.

Uu petit thermomètre suspendu dans le liquide fait con-

' Abbb, Neue Apparaît tur Ikstmmung de» Urechungi'cermôgeng, Jena, 1874. LorsqiK^ ilann un cristal l>ir^-fringent, l'angle limite <le réflexion totale Tari» avec l'azimut du )ilan d'incidence, la limite des deux rt'gions eat plus ou moins inclin/'c: elle ne devient verticale et perpendiculaire à la irace horizontale do plan d'incidence que dans les positions où l'angle limite est maximum ou niinimum. Vojrez LiBBiacn, Phyg. Krynt. 406.

BÈFLESIOS TOTALE. 326

naître à chaqae instant la température de celui-ci. Poar fixer la lame à étudier au bout de l'axe, on peut, si elle est monoréfringente, se contenter de l'appliquer aa moyen d'un ressort convenable contre une petite fenêtre, percée dans une plaque de métal qui se visse sur l'axe (fig. 389). Si la lame est biréfringente et qu'il faille la faire tourner dans son plan, on visse & la place de la plaque de métal une pièce plus compliquée, composée d'un anneau vertical, dans lequel on ajuste la lame, et qui peut tonrner sur lui-même autour <l'un axe horizontal à l'aide d'une vis tangente {fig. 390}'. Cette vis reçoit son mouvement d'une tige articulée qui traverse le couvercle. Il est avantageux de pourvoir la lunette d'un prisme de Nicol {§ 272), qui, suivant sa position, ne laisse voir que l'une ou l'autre des deux limites.

On peut aussi se servir du réfractomètre de M. Kohlrausch pour l'étade de la dispersion. Il faut, dans ce cas, remplacer l'oculaire de la lunette par un spectroscope a vision ^'g ^sa. directe dont la fente, dirigée horizontalement, vient occuper la place du réticule, et l'écran E par une lentille qui concentre sur la lame les rayons du soleil on d'une source de lumière blanche suffisamment intense. On observe alors un spectre vertical, sur lequel la limite des rayons réfiécliis simplement et totalement se présente comme ane ligne inclinée séparant deux régions d'éclairement inégal. Eu faisant tourner ta lame, on amène cette limite ao milieu du champ successivement pour les divers rayons '.

Fig. 380.

' C. Klbif, N. Jahrb. 1879, 880.

' C. PuLFRiCB, Wied. Anv. 1887, XXX, 187.

PBOFBliTÉS OPTIQUES.

251. Réfractomètre de M. G. Soret'. — Une sorte de goniomètre (fig. 391) porte en son milien nn yase de verre^ contenant le liquide réfringent, et pourvu du côté du collimateur C d'une glace plane par laquelle un faisceau de rayons solaires parallèles vient éclairer la lame. Celle-ci est fixée à Textré-

Fig. 891.

mité d'un axe vertical 0, qui traverse le couvercle V du vase et porte, comme dans le réfractomètre de Kohlrausch, un vemier permettant de mesurer ses déplacements. La lunette est remplacée par un spectroscope à vision directe S, dont la fente est verticale et qui est porté par un bras pouvant tourner tout autour du vase. Une disposition spéciale, que nous ne décrirons pas, permet de lier ce spectroscope à Taxe central qui porte la lame et le vernier, de telle sorte que la rotation de cet axe soit toujours la moitié de celle du spectroscope, et que la fente de celui-ci reçoive constamment les rayons réfléchis par la lame. Si l'inci-

* Ch. Soret, Archives des Se» pht/s. et n<it. 1883, IX, 5; Zeitsch. f. KrysU 1883, VII, 521). - (Indices des aluns, Ch. Soret, Archives, 1884, XII, 553; 1885, XIII, 5; 1S8S, XX, 517; — sulfates doubles clinorhombiques à eH^O, F.-L. Per- HOT, ihid. 181)1, XXV, 26; — chlorate de soude, F. Dussaud, ifttd. 1892, XXVII, 380, 521.

BiFLEXIOH TOTALE. 327

dence est très grande, toas les rayons sont réfléchis totalement, et le spectre est très brillant dans toute son étendne. Si l'on diminue progressivement l'incidence, les divers rayons atteignent successivement lenr angle limite et. n'ont plus dès lors qu'une intensité moindre. On voit comme un rideaa sombre qai s'avance gradaellement da rouge au violet et dont on peut amener le bord dans une région quelconque du spectre. L'angle limite correspondant s'obtient comme dans le réfractomètre de M. Kohirausch, en répétant le même pointé de l'autre côté de l'appareil et en prenant la moitié de l'angle parcouru par le vemier.

Afin d'éliminer l'influence de *"'*■ ^^^'

la température, t'axe 0 peut monter et descendre dans la pièce qui le fixe au vernier, et porte à sa partie inférieure, au-dessous de la lame à étudier, une lame de verre d'indices connus et sensiblement invariables que l'on peut ainsi introduire instantanément dans le faisceau des rayons incidents. On intercale toujours une mesure faite sur la lame & étudier entre deux mesures faites sur la lame de comparaison, ce qui permet d'éliminer l'indice variable du

Fig. 393.

liquide. Le couvercle séparé du vase peut être placé verticalement (fig. 392); les lames sont portées par de petites bonnettes B, que l'on peut incliner plus on moins sur l'axe 0 ;

328 PBOPBiÂTie optiqdbs.

lear réglage se bit comme sur nn goniomètre de Wollaattm

Poar l'étude des corps biréfringents, l'axe simple O est remplacé par on axe crenx, traversé par une tige T qui, an moyen d'oD pignon denté, fait tourner une plate-forme Pdans un plan parallèle à l'axe. Le cristal est fixé sur cette plate-forme et réglé à l'aide de quatre vis calantes (fig. 393).

252. Réfractomètrede H. Pulfrich' (fig. 394 et 395). — La lame à. étudier est appliquée avec interposition d'une goutte

Fig. 394.

d'un liquide fortement réfringent, sur la base horizontale d'un

' C. PiLïBiou, Wied. An,i.

32G; 1881», XXXVI, ÔGI ; Ivo XIV, 202; — Laïesir, Bull. ;

iXX, 193, 487; XXXI, 724; 1888, XXXIV, si A. McLBUiis, ZeiUeh. f. Kryst. 1838, !. 1891, XIV, 100; — DoFBT, ibîd., 130-1

BÈPLEXIOK TOTALE. 339

cylindre de verre C porté par un &xe vertical dont la rotation se meaare à l'aide d'un cercle gradué horizontal. La lumière, concentrée par une lentille, péuètre dans le verre par sa surface cylindrique, 8e réfléchit sur la base et ressort de l'autre côté, où on l'observe avec une lunette L, qui peut tourner autour d'nn axe horizontal situé à la hauteur de la base du cylindre. Un cercle gradué H donne à chaque ^a ^^'•■

instant l'angle i compris entre l'axe optique de la lunette et la normale N à la surface cylindrique. Pour rendre l'observation plus commode, la lunette est coudée et contient un prisme à réflexion totale qui renvoie les rayons vers an oculaire dirigé en avant de l'appareil. En lumière monochromatique, les apparences sont les mêmes que dans l'appareil de M. Eohirauscb. Au moment où la limite de réflexion totale passe sur le réticule de la lunette, on a les relations ((a étant l'indice du verre)

n = f*8inj et M = ~j,

d'où l'on tire

n' ~ i^\l — cos' 3) = «'(1 — ^i^) = ia' — sin'(;

on a donc

« — Vfi' — sin'i-

On peut également observer en lumJèi'e blanche en remplaçant l'oculaire par un petit spectroscope à vision directe. II est préférable, lorsque la chose est possible, de se servir du procédé par réfraction (§ 248); on concentre alors la lumière sur la lame depuis le dessus.

330 PBOPBtAris oph^oes.

Ce réfractomètre est très avantageux pour l'étade des corps biréfriDgeats; la lame, appliquée contre le cylindre, tourne dans son plan avec celui-ci, sans aucun frottement contre le verre et sans autre réglage que celui du cylindre lui-même qui se fait une fois pour toutes.