OM. 0M'
le coefficient de dilatation e dans la direction normale à la lame est donné par la formule
e = a cos' / + jS cos* m -j- y cos* n .
472 PROPRlÉT^:8 THEKIfIQUEb.
Quoi qu'il en soit, Tétude d'un nombre suffisant de lames diflféremment orientées permettra de déterminer les axes thermiques et les dilatations principales.
♦ 371. Démonstration des formules. — Les trois formules que nous venons d'énoncer s'obtiennent de la manière suivante :
P Soient x^ y^ z les coordonnées du point M, ic', y, -er' celles du point M', x^^y^, z^ celles du point M4, prises par rapport aux axes thermiques. Nous avons d'abord
ai = x(\ -\- oA) y = y (1+^6)
/ = ^ (1 + yô)
L'équation de la sphère S étant
a:« + y* + ^ = OM*
celle 4e relli])soïde E s'en déduit en y remplaçant r, y, z par leurs valeurs en fonctions de x\ y\ z :
(1 + ao)^ ^ (1 + pe)* ^ a + Tô)' ~ *
Si i, m^ n sont les angles que la direction OM forme avec les axes, nous trouvons
-x^{l^ adf^y^ (1 -f ^bf 4 z^ (1 -\ yQf
-^ OM* K 1 4 aif COS* / -i (1 4 /36)' cos* W« 4- ( 1 + 76)* cos« n I
qui est identique à la seconde formule du § 370, et peut s'écrire
(1 -f t6f - (1 + a6f cos* / 4- (1 -f /36)' cos* m + (1 4 ybf cos«^? .
En développant les carrés et négligeant les puissances de a,
|8, 7, £ supérieures à la première, et en remarquant que Ton a toujours
cos* / + cos* 7)1 -f- cos* n = l ,
il vient
e - a COS* / + P ces* W -f- y COS* n .
2^ Soient encore ï^, Wi, Wj les angles que la direction OM^ forme avec les axes. Nous avons
Xi cos li -f- l/i cos m^ + ^1 cos 7ii = OM^ (1)
et aussi, puisque M^ est situé sur le plan tangent en M' à Tellipsoïde,
(1 + ae)* ^ (1 + peV ^ (1 + T^)'
qui peut s'écrire, en remplaçant x'^ y\ z par leurs valeurs en fonctions de rr, y, ^ :
1 + ae ^^ 1 + pe + 1 4-Te ^^^ ^^^
La comparaison des formes (1) et (2) de Téquation du plan CD' donne
0M| costj coswj cos/^i
^^'^ l+*0 l-f-tî6 l-l-^Ô
V cos*ï, + cos*m, + cos' w,
n\f 4 / c^* ^ I co8*m . cos*n
En multipliant les deux membres par OM, on retrouve la première formule du § 370.
474 PROPRIÉTÉS THERMIQUES.
On a donc, en posant OM, = OM (1 -j- rf),
/ 1 Y / cosZ \* , /cosm\* j^ / cosw \>
£n eflfectaant les divisions indiquées et en négligeant toujours les carrés des coefficients de dilatation, il vient
(1 ^ef = (1 «e/cos* l + (l-fi9f cos* m -H (1 - yOf cos* n , qui, au même ordre d'approximation, donne comme ci-dessus
g = a COS* l -j- 0 COS* tn -j- y COS* W .
372. Constantes thermiques de quelques corps. — Nous reproduisons ici quelques-uns des résultats obtenus par M. Fizeau. l^ étant une longueur à 0^, la longueur Ih t"^ peut être exprimée par une formule à deux termes
(i) Cristaux cubiques.
Diamant a = 0,00000060 «' = 0,0000000072
Sel gemme 0,00083859 0,0000000224
Fluorine 0,00001796 0,0000000144
Galène 0,00001992 0,0000000027
b) Cristmix quadratiques.
Les coefficients sont •/, / suivant Taxe principal a, « perpendiculairement à l'axe. ,
Cassitérite •/ = 0,00000344 / = 0,0000000059
Rutile '/ = 0,00000829 / = 0,00i)0000112
oc = 0,00000670 fit' = 0,0000000055
DILATATION thekmiqi:ë. 475
c) Cristaux hexagonaux.
Quartz y = 0,00000699 -/ = 0,0000000102
Corindon -/ = 0,00000537 / = 0,0000000102
Calcite y = 0,00002557 •/ = 0,0000000080
Béryl 7 = -0,00000152 / = 0,0000000057
lodure d'argent -/ = -0,00000226 -/ - -0,0000000213
« = 0,00000010 oc = 0,0000000069
On remarquera la valeur négative des coefficients pour la calcite, le béryl, l'iodure d'argent. Dans la première, la dilatation est positive suivant Taxe et négative dans les directions perpendiculaires. Les deux derniers, au contraire, se contractent suivant l'axe et se dilatent perpendiculairement à l'axe.
d) Cridaux rhonMques.
Les coefficients «, a', j3, ^', y, y se rapportent respectivement aux axes cristallographiques des X, des Y et des Z choisis d'après les conventions du § 42 .
Aragonite « = 0,00000990 a' = 0,0000000032
Topaze a = 0,00000423 x = 0,0000000076
e) Cristaux clinorhnnbiques.
Dans le gypse, la pins forte dilatation a lieu suivant l'axe de symétrie, avec les coefficients (3 -- 0,00003789,
476 l'KOPKiÉTKS THEaMlftl;ïa),
/3' == 0,0000000468. Les deux antres axes OA, OB contenus dans le plan de symétrie sont orientés comme l'indique la I figure 467.
BOX = 48= environ.
Les coefficients sont pour OA :
(, = 0,00002796. «' = 0,0000000171 et pour OB :
Fig. 487. ' '
Le changement d'orientation avec la température est peu marqué.
f) Cmtaux tridiniques.
L'anorthUc a été l'objet d'une étude spéciale de M. Beckenkamp, qui a observé une variation considérable dans la position des axes thermiques suivant l'intervalle de température étudié. Ainsi l'un des axes de dilatation qui, entre 20 et 80% forme un angle de l.'j'SS' avec une arête du cristal, se trouve entre 20 et 200^ former avec la même arête un angle de 41^57'.
373. Remarque de H. Schrauf. — M. Scbrauf a cherché à découvrir des relations entre la dilatation des cristaux et leurs autres propriétés physiques. Il a remarqué en particulier que, dans les corps simples cristallisés qui ont été étudiés jusqu'ici, les coefficients de dilatation suivant les trois axes cristallographiques sont à peu près proportionnels à des multiples simples des paramètres relatifs à ces mêmes axes. On trouve ainsi :
' A. ScHKAiK H7f./. A.>,f. laaii, XXVII, ^15: .\XV1II. 4:iS.
>ur le soufre (rhombique) :
imètres cristallographiqnes :
iîcients de dilatation X 10^ :
a : /3 : •/ = 0,6849 : 0,8604 : 0,2144. >orts:
)ur ïantinmne (rhomboédrique) :
.mètres cristallographiqnes :
ficients de dilatation x 10* :
)orts :
)ur le bismuth (rhomboédrique) :
mètres cristallographiqnes :
ficients de dilatation X 10*:
a :-/ = 0,1208 : 0,1621. [)ort8 :
cela = 0,1208; '//c = 0,1243.
tes relations analogues, mais plus compliquées, s'observent aussi dans les corps composés.
478 PR0PRIÉTK8 THERMIQUES.
