CHAPITRE XXV

374. Flux de chaleur'. — Dans un corps dont tous les points n'ont pas la même température, la chaleur se transporte toujours par conductibilité des parties les plus chaudes aux parties les plus froides, et ce transport dure aussi longtemps que les températures ne sont pas égalisées. En un point donné et ù un instant donné, on peut admettre que le courant de chaleur a une direction déterminée. Le flux total de chaleur est la quantité qui passe pendant l'unité de temps à travers l'unité de surface d'un plan perpendiculaire à cette direction.

Si nous appelons F ce flux total, a, (3, y les angles qu'il forme avec trois axes de coordonnées rectangulaires, nous pourrons le

' La théorie de la conductibilité a été créée par Fourier, Théorie anàlittique de la chaleur, Paris 1822. P^ourier n'a considéré que les corps isotropes.

L'application de la théorie aux cristaux possédant trois plans de symétrio rectangulaires {égalité sywélrique) a été faite par Duhamel,*/. Éc.Polyt. 1832, XIII, 350; 1848, XL\, 155; J. de Liouville, 1839, IV, 63; C B. 1847, XXV, 842, 870; 1848, XXVII, 129; 1850, XLIII, 1. — Le cas général a été envisagé par Stokes, Camh, and Diihl. Mathem. J. 1851, VI, 215; — Lamé, Théorie de la chaleur, Paris 1801; — Minnmgkrode, Ueher Wàrmeleitung in Krystallefu Thèse, Gœttingen 1862; N. Jahrb. f. Min. 1886, 1, 1 ; — Boussinesq, C. B. 1867, LXV, 104; 1868, LXVI, 1194; Étude i^ur la propagation de la chaleur dans les milieux homogènes, Thèse, Paris, 1867; J. de Liouville, 1869, XIV, 265.

CONUrCriHII.ITK l'OL'U 1^ CtULRlH. i'V

définir par ses trois composantes F, = Fco8«, F, = Fcos(3, F, = F cosy, parallèles & ces axes.

F,, F^ F, représentent en même temps les quantités de clialeur qui traversent l'unité de surface de trois plans respectivement perpendiculaires aux axes.

Considérons en effet (%. 468], deax ^^^^^| plans, l'un AB perpendiculaire, l'antre A'B' oblique au flux total. Les portions S et S' de ces plans qui sont limitées par une surface cylindrique Pig. *68, dont les génératrices sont parallèles au flux sont évidemment traversées par la même quantité de chalenr, représentée par FS pour la surface S, par FS' pour la surface S'. Donc

F'S' = FS = FS' cos 6 et

F = F cos 6.

F est la quantité qui traverse le plan oblique par unité de surface. Le flux par unité de surface relatif an plan quelconque A'B' est la projection du flux total sur la normale à A'B'.

Les flux F„ F„, F, parallèles aux axes de coordonnées sont généralement variables d'un instant à l'autre et d'un point à l'autre, et dépendent de la distribution des températures tout autour du point considéré. Ce sont donc des fonctions du temps i et des coordonnées x, y, z de ce point. La température est, elle aussi, une fonction des mêmes variables.

Si le corps reçoit par certains points de la cbaleur d'une source constante, et en abandonne d'une manière également constante à d'autres corps par d'autres points, il s'établit à la longue un régime permanent dans lequel la température et les flux de chaleur ont en chaque point des valeurs déterminées, variables d'un point à l'autre, mais indépendantes du temps.

'iVf. 8artac«* uotbermet. — \}^m vim Ifrs •*âs. on pen IWMTt'.f U dJHtrihrjtJ'»!! dfri teinp^ntores à rinlériear da corps fr*r I» r'fiiitid'^ration «If^ narfarz-A wAMm^, dont chacane est form'iA |riir r<?n>)*mM'; 'l«fii inmtn i{<ai ont à un même instant \x mhat! tumji/niart!. Il nst clair (|Uf; deux isothermes ne peaTent W! rt^ifî'fntnrr, puis'juf! un m^mf; p'tiiit ne peat avoir en même Uunp* iIkhs U^mpéntart-ti différentes. Si nous traçons les sorfaritH 'wAht'.nwH reUtives à mu: série de températures variant jinr dc((r/;N Akbiix, m, «-•-«, «+2s(..., ces surfaces seront d'uiilittit [iliiK rnpiiroirhér-H que la températare changera pins viii! d'un point k un iintrc, vt nVicarteront au contraire d'aatant idiM (jur* lii htirijiAratiire sera pliiH uniforme. Si l'on niiiHifU-r» (haix iHoth<>rnios très voisines correspondant il deH températures très peu différentes, I deux étr-iiients très petits pris en regard l'un do l'autre sont sensiblement parallélcH vt se confondent avec des plans perpendiculaires à leur normale commune NN' (tifî. M!»). Le tiux de chaleur traver- '■"'" '"" snut ci'tto rc^ion infiniment petite est as-

NiMhliildc i*! celui qui I nivontcriiit un mur indétlni à faces parallèles (Inut les deii\ faces seraient portées à des températures ildterenti's.

;iT(i. Ooofliciont de conductibilité intérieure dans les corps isotropes. - Considérons (tii;. 470"i un mur formé il'iinc «iiil'si.iiiii- Koiviipe. a>;uit une épaisseur ■. et des dimeu- Mot!- i'.iiKiiv.u's dans !os atinvs d;recrir>ns. ^i la lace AB e>: s ;n!t' t(".;;ivv.it",re . cî \a Luc A 1! .'i '.;:;c temiv rature iatêrieure . , .!:.;.;:;.■ ;:;:::c ùc m:::;»,v .::; •::::.•: >e:a ::-a\tTS(0 dans cha=;Uï

C0S0UCT1BU.1TÉ POUR LA. CHM-EIR. 481

maie NN'. Noua pourrons, an moins en première approximation, le considérer comme proportionnel & la variation que la température subit par miité de longueor dans la direction NN' perpendiculaire à la sarface isotherme AB.

Le flux F étant positif, c'est-à-dire dirigé de N vers N', la température diminue, c'est-à-dire éprouve une variation négative u' — », quand ou passe du point N au point N'. La variation par unité de longueur, que nous appellerons u„, est

Fig. *io.

et l'expression du flux est

k est la valeur du flux pour u„ = 1, c'est le coefficient de conduct^nlité iiUérieure de la matière dont le mur est formé.

377. Soit maintenant une direction NM quelconque faisant un angle 0 avec la normale NN'. Le flux F, suivant cette direction (rapporté à l'unité de surface d'un plan perpendiculaire à NM) est égal (§ 374) au flux total F dirigé suivant NN' multiplié par cos S. On aura donc

= Fco8 9 = — fc-

3=ii^-«).

Or (u* — u)'é est la variation u^ de la température par nnité de longueur dans la direction NM,

D'après la remarque qni termine le § 374, les résultats ol)te-

462 PK0PRIÉ1'É8 THBBMIQUKtt.

nos dans le cas d'an mur iiidétini sont applicables, ea toat point du milieu, à l'espace compris entre deux surfaces isothermes infinimeot voisines.

Nous trouvons donc que, dans un milieu isotrope, 1' le- fivx total de choeur est constmnment normal aux surfaces isotherme-i; 2° le flux estimé dam une direction quelconqtte est-, en signe contraire, le produit de la variation de tetnpérature par unité de longueur suivant cette direction, par le coefficient de condw^ibitHé intérimre.

n en résulte immédiatement que les composantes du flux total suivant tes axes sont exprimées par

F^ = — fc«^; F, = — fcM„; F. = — A-«,.

378. Propagation de la chaleur tout autour d'un point dans un milieu isotrope indéfini. — Il est évident que si l'on suppose qu'un point 0 d'uu milieu isotrope indéfini (fig. 471) soit maintenu à une température plus -.

élevée que le reste du milieu, la cha — leur se propagera également tout autour du point 0, les isothermes?-

'''^ *^'* seront des sphères ayant ce point

comme centre et le Hux total de chaleur sera, en un point M quelconque, dirigé suivant le rayon OM.

379. Coefficients de conductibilité intérieure dans les corps cristallisés. — Prenons maintenant un mur iudttini connue au paragraphe précédent, mais supposons que la matière dont il est formé ne soit pas isotrope.

Nous n'avons plus de raison d'admettre que le flux total de clialeur soit dirigé suivant la nonnale KN' aux surfaces iso-

coKuuc'i'iBii.iTÉ i>()i'K rA viiai.ki:r. 4d'S

thermes (fig. 472); le milieu n'est pas eu général symétrique par rapport à cette ligne ; il est naturel de penser que sa conductibilité est variable d'une direction h l'autre et que, par suite, la chaleur passe plus facilement de la surface ÂB à la surface A'B' en suivant une ligne oblique, telle que NN,. La variation <le température suivant NN' donne lieu à un transport de chaleur non seulement suivant NN', mais aussi normalement 41 cette ligne. Les formules simples des corps isotropes ne sont donc plus applicables, et nous devons considérer le flux F„ par exemple, comme dépendant non seu- ^''' *'^'

lement de la variation de température «, suivant Taxe des x, mais aussi des variations u,, «. suivant les axes des y et des z. La supposition la plus simple que l'on puisse faire est d'admettre pour F,, F„, F, des valeurs de la forme '

F^ = — CAM,-f-B«,-|-C«.i F, = -(B'H,+ A'«,-|-Dtf.) F. = — (Cw, + D'«, + AX)

<]ui satisfont h la condition évidente de s'annuler eu même temps que les variations de température.

Dans cette hypothèse, la conductibilité du milieu cristallisé <lépendrait généralement des neuf coefficients de conductibilité A, A, A", B, B', C, C, D, D'. C'est là une première approximation qui est certainement permise si les variations «„ »„ «» de la température par unité de longueur sont petites, mais qui peut se trouver en défaut si la température varie rapidement d'un point à l'autre.

' «TOKES, Cainb. and 7)«W. Malheiii. J. I«5i, VI, 215.

484 PK0FH1ÉT>> THKRMlill£8.

380. Conductibilité normale. — Daus un mur anisotrope indéfini tel que celui que nous avons supposé au § 379, dont les faces AB et A'B' sont maintenues à des températures uniformes u et u\ le passage de la chaleur se fait partout de la même manière et les surfaces isothermes sont des plans parallèles à AB. Le flux total F est en général dirigé obliquement suivant une direction NNi variable avec la nature et l'orientation du mur. F est la quantité de chaleur qui traverse Funité de surface d'un plan perpendiculaire à NNi. La quantité de chaleur qui traverse Tunité de surface du plan AB, ou le flux normal au mur, est égale (§ 374) à la projection F^ du flux total F bur la normale NN'.

Or on peut démontrer ' : P Que le flux normal F„ est propotiionnel à la variation

que la température siéit par unité de longueur dans la direction

de NN', de sorte que

Fn = f^n^^n >

k^ étant un ceiiain coefficient de conductibilité normale;

2^ Que le coefficient k^ varie pour un même cristal avec l'orientation du mur, et se trouve représenté dans chaque position par rinverse du carré du rayon vecteur mené suivant NN' d'un coiain ellipsoïde (ellipsoïde inverse de conductibilité norm(de).