Force résultante

Fij. 478

tielles étant proportionnelle i

- Soient g„ q„ q, ... (fig. 478) des masses électriques quelconques. Une masse ^ placée en P est soumise à une force f, = j^- ''t- provenant de g, et dirigée suivant r„ à une force /■, = ^^ provenant de §» et dirigée suivant r», et ainsi de suite. Chacune de ces forces par-

ff, il en sera de même de leur

' ConLOHB, Mèm. de VAcail. 1785, 569, 578.

* Si noua connaissions U naiiire mécanique de ce que noua appelons une quantité d'électricité, l'unité absolue de quantité d'électricité ae trouverait ipso t'aclo déterminée en fonction des unités fondamentales de masse, de longueur et de tempa; le coefficient K« serait alors une quantité physique de nature également déterminée. Dans notre ignorance, nous dévoua noua contenter de mesurer lea quantités d'électricité à l'aide d'unités conventionnelles; telle est par exemple Vutiité éiectroftatique, représentée par la masse électrique qui, agissant à l'unité de distance sur une masse égale, exercerait une force égale à l'unité. Dana ce cas, on doit faire Ko= 1. Il en résulte nne petite simplification des fnrmulea; maia la suppression arbitraire d'un facteur auni important entraîne facilement des malentendus, des obacaritéa théoriques et des locutions t

ACTIONS ÉLBOTBiaUES. 509

résDltante, qui pourra s'écrire F^*. F est la force qui agirait sur une masse égale à l'anité d'électricité positive, si on pouvait l'amener an point P sans modifier la distributioii des autres masses. F est appelée la force él&irigue résultante au point F. L'ensemble des points de l'espace où la force résultante a une valeur différente de zéro constitue le champ électrique. L'état du champ électrique est défini par la grandeur et la direction de la force électrique en chacun de ses points. On pourra le représenter graphiquement en construisant des lignes qui soient en chaque point tangentes à la direction de la force résultante au même point Ces lignes sont appelées lignes de force.

401. Potentiel électrique*. — Supposons que la masse q' placée au point P soit positive et égale à l'unité. Si nous l'emmenons du point P à une distance infinie, les forces électriques effectueront un certain travail, positif ou négatif suivant qu'elles favoriseront ou entraveront ce déplacement.

Ce travail effectué sur l'unité d'électricité positive est ce que l'on appelle le pi^entiel éledrique an point ■ P. Il est facile d'en calculer la valeur.

Supposons que la masse ^, placée d'abord en P, subisse un déplacement PF très petit (fig. 479). Le travail effectué par la

' Le nom de potentiel est dû à Gicss, Reguitate aia den Beobaehtungen des wiagnetitche» Vtreitu, Ostiingen 1840, 1. Cette fonction, déjà employée par LioRiHoi et par Lipliice, a été introduite dans lea théories de l'électricité par PousoN, Mém. de Plnstitut, 1611, 1 ; et par Grien, An enêay on the application of wiathematicai analygi» on the theorien uf declricily and magnetism, Nottïn* gham 1828. — Voyez W. Tbomboh, Keprint of papers on Eleetricity and Magnetiem, Londres 1872, p. 15; et Duubh, Leçonn sut t' Électricité et leHagnétùme, Paris 1891, 1. — La fonction T, définie par les formules (I) et (3) ci-du-

force résaltante ¥^ est la somme des travaux partiels effectaés par les forces élémentaires /*,, /*«, /*s ... La force fi a au point P la valeur ^ ^ et au point F la valeur ^-^. Ce déplacement étant très petit, ri est très voisin de r^i et on peut admettre que, pendant tout le trajet PF, la masse gf a été soumise à la force moyenne i -^. Le travail de cette force est égal au produit de sa valeur par la projection du chemin parcouru PF sur la direction de la force, c'est-à-dire par FM, qui est sensiblement égal à /i — ri. Le travail de /i pendant le déplacement PF est donc

La force f^ donne de même un travail

et il en est de même pour les autres forces élémentaires. Le travail total des forces électriques est la somme

t - Cl -f C, j^ g [^^ + ^^ . . . ^,^ X. . . . I .

En posant pour abréger

il vient

SOUS, est bien celle à laquelle Tusage actuel des physiciens et des électriciens donne le nom de potentiel. Dans la notation de M. Duhem cette fonction est désignée par eV.

ACTIONS ÉLE0TB1QUE8. Ôll

Faisons mamtenant sabir à la masse ^ an second déplacement infiniment petit FP, posons

le travail correspondant est

Ponr nn troisième déplacement PF'' nous avons de même

La somme de tons ces travaux ^, X% %'" ... est égale an travail total effectué entre la position initiale P et la position finale P^*^ ; cette somme a évidemment pour valeur

V ne dépend que de la position du point P, V^*** ne dépend que de la position du point P^'*^ Le travail X ne dépend aucunement du chemin par lequel la masse g" s'est transportée de P en F"*

Si P^"^ est à une distance infinie des masses agissantes, r/**\ rj^^ ... deviennent infinis et V^**' est nul. Le travail se réduit à

Sig'=l, ^î = V.

La quantité que nous avons appelée Y, et qui est définie par la formule (1), représente donc le potentiel électrique au point P.

402. La formule (2) ci-dessus conduit à quelques conséquences importantes.

Si V^"* < V, le travail % sera positif ou négatif suivant que 4 sera elle-même positive ou négative. Or le travail est positif

913 raapBiÈTis ÈLEcrramoxB,

si F farorise le déplacement. L'électricité positive toid donc fc se déplacer dans le sens où le potentiel décroît. L'inrerse a lien pour l'électricité négative.

Si nous considérons l'ensemble des points ponr lesquels le potentiel a nne même valeur a, nous trouvons qu'ils congtîtnent one certaine surface dont l'équation est Y = a, et que Ton appelle swrface équipotentieUe on surface de niveau. En donnant à a nne série de valeurs équidistantes, nonâ aurons une série de surfaces de niveau correspondant i des potentiels équidistants, I et dont la forme et la position nous représenteront commodément la distribution du potentiel dans le cbamp électrique. H est cUûr qu'un même point, ne pouvant avoir à la fois deux potentiels différents, ne peut appar- ' tenir & deux surfaces de niveau :

^- **•■ les surfaces de niveau ne peuvent

donc pas se couper les unes les autres.

Supposons que la masse ^ passe da point P|, où le potentiel est Vi, au point très voisin Pj, où le potentiel est V, (fig. 480). Soit F la force résultante (qui agirait sur une masse 1), formant un angle a avec la direction du déplacement. Le travail est par définition çfF x PiP» cos a, et est égal, d'après ce qui précède, àî'(V,— Vi).

On a donc

F X i\P, cos « = V. — V, .

Pour tout déplacement PiP^ contenu dans une surface de niveau, V, = V, et le second membre est nul; il faut donc, pour qu'il en soit de même du premier membre, que cos a soit nul, quel que soit ce déplacement, c'est-à-dire que la force résultante F soit en tout point normale aux surfaces de niveau.

ACnOKB ÉLBCntlQIIBS. 513

Si le déplacement a lien dans la direction de F, les pointa P, et P, étant pris sur deux snriaces de nlTeaa très roisines, on a COSa— 1 et

La force F aox différents points de la snrface de niTeaa Yi est donc en raison inverse des distances qui, aoz points considérés, séparent cette sorface de la snrface infiniment voisine.

Enfin si, dans nn espace donné, le potentiel a tue valeur constante, on anra Y, = Y, et ^ =: 0 pour tont déplacement contenu dans cet espace; ce n*est possible que.si F = 0. Réciproquement, si F = 0 dans nn certain espace, le potentiel doit y avoir la même valenr en tons points.

403. Flux d6 force. — Soit a nn élément très petit d'nne snrface de nivean (fig. 481), F la force résultante en on point de cet élément. Le produit Fa est appelé le flux de force à travers l'élément a.

Soit une surface qoelconqne S conpant a, et dont la normale forme nn angle i avec F.

Les lignes de force qui traversent l'élément a traversent S dans un élément dont la sur- ^'* *'^

face est o" = a/cose. On peut donc écrire

Fa = Fo' cos ( = F cos t X a' = F„a' ,

F, est la composante de la force suivant la normale à a', et F.a' est le flux de force à travers a*.

514 nonawri» ctscnBium.

404. ThéorëmedeGanu'. — SoitoDeBiaseaeetriqiie} plac-e à l'iDiéneor d'iuie nr&ce fermée qwteonqBe S, et. aXcakiiM If flax toul de force à tnren S. TraçiMB mtonr de q une iq>hére de rayon I , et considérons on ctoe infiniinent délié ayant num mmmtA »a p<iint q. Ce cône décoape sur la q)hère on

{i\{'.TM:x\\. de sarface o, et sur S un élément d (fig. 482). Si a est

la Hcctioti normale à la même distance de q, on aura, d'après le

paragraphe précédent, pour le flui & travers l'élémait o*,

F„o' = Fa .

Mais F=^ ^, et a = r*<a, donc

Le Hux total & travers la surface S entière s'obtiendra en faiHaiit la somme des quantités analogues pour les différents éléments de cette surface, ce que nous pourrons écrire pour abréger, à, l'aide du symbole de sommation ^,

VF.,,- = ^,2-

' Oafri \\»\i\ Œavreu, (JOtiinguc 1867, V, 3.

ACTIONS ÉLECTE1QUB8. 616

Or X»> est la surface de la sphère de rayon 1 et vaat 4n. Donc

Si, aa lieu d'une seule masse q, nous en avions plusieurs, distribuées d'une manière quelconque dans l'intérieur de S, chacune d'elles donnerait lien à un aux ayant la même expression. Le aux total dû à. toutes ces masses, à travers une surface fermée qui les entonre, est égal au produit de 4Tc/Ka par leur somme algébrique.

Si cette somme est nulle, le aux total est nul également. En effet, le aux total Fa garde une valeur constante en tous points du cône dont nous nous sommes servis. Pour toute masse q

située en dehors de la surface S, le cône, on bien ne rencontre pas celle-ci, ou bien doit y entrer en Oi, puis en sortir en Ot (âg. 483). Dana le premier cas, le flux qui lui correspond est nul. Dans le second cas, le flux qui entre en a, peut être considéré comme un flux sortant négatif; il est égal et de signe contraire au flux qui sort en Ot : le flux total sortant est nul encore. Le fltix de force qui sort d'une surface fermée qttelconque est égal au produit de 4j:jE^ par la somme algébrique des i qui sont contenues dans cette surface.

'l«ft^ nrM- ^JVttiAf. vtrlêrj; 4*; vri*»a. ^ imrh appliqwns le théoti'tn^ 'If, OiK'iM A l« *.ttrt»rjf tHrmht iwmptwte des deax éléments

a, t-1 'i, *■*. 4» t'iFff; 'Ih tor^-J-. f|ni lefl nïtie, noos aarons, en ippelaiii I , i« f'.r'.<: ii-:>ilfMtU: «ft a, ftt F, la force résaltaote en o,. H Ml f <'(fiitf '|<jarit '{rjc l<; (lux i\h UirfM est dqI à travers les parois luUiuU-: i|rj iiiin-, pitif|u<! la foret; If^ur est partent parallèle,

!•>, , Iv<.= k;'/-

;',( lu |»iiiU(»ti lie tri))f^ cmiHiiUiri'M ne contient pas de masse ii|(|iinHiil.i>, '/ — I) rt,

li> lliit ijiii miLt'i) |mr «, chI. <'>kiiI au lliix qui sort par Ot ; la force |H'iii l^tl i> itNHiinUoo i\ 1111 li([iiiil(< i[iii sV'coiilcrait le long dn tabe.

4(H>. r.(|uilibro tloN conducteurs. — Dans un corps conilui'inir. ^l^llH'lnl'ih^ i>st liltri* tir so mouvoir d'un point à l'antre.