Condensateur plan à diélectrique anisotrope

— Si le diélectrique qui sépare les deux armatures est une lame à faces parallèles taillée dans un cristal, la capacité du

Faraday, Exper. ResearcheSj Série XI (1837); — Cavendish, Elect, Researche.^ (1771-1781), Cambridge 1879.

POLARISATION DIÉLECTRIQUE. 537

eottdensateor peut encore être représentée par une expression de la forme

mais la quantité £[„, qai joue le rôle de constante diélectrique, varie pour un même cristal avec l'orientation de la lame. Des calculs très simples, quoique relativement un peu longs, qui seront développés plus loin (§§ 424 à 427), conduisent aux résultats suivants :

La quantité K^j qui entre dans la formule du condensateur j estj pour chaque orientation de la lame cristallisée qui constitue ceiui-dj V inverse du carré du rayon vecteur^ mené normalement à cette lams, d^un certain ellipsoïde, appelé ellipsoïde inverse d'induction. Les axes principaux de cet ellipsoïde sont appelés axes dHndudion ou aoces de polarisation. Si on les choisit comme axes de coordonnées, l'équation de l'ellipsoïde d'induction prend la forme

et si la normale au condensateur forme avec les axes des angles «, j3, y, on a

K„ = KajCOs^a -|- KyCos*/^ + K^cos*-/.

En particulier, K„ prend la valeur K;^, K^ ou K^ lorsque la lame cristallisée est taillée perpendiculairement à l'axe des X, des Y ou des Z.

Les coefficients Ki, Ky, K, sont les trois constantes diélectriques principales du cristal.

421. Rôle de la symétrie cristalline. — Le fonctionnement du condensateur est déterminé pour chaque cristal par la forme et la position de l'ellipsoïde inverse d'induction, qui

538 PBOPRlÉTiB ÉLECTRIQUES.

est lié à la symétrie cristallographiqae d'après les règles qoe nous avoDS déjà si souvent appliquées.

D a une forme et une orientation quelconques dans le système triclinique; l'un de ses axes principaux coïncide avec l'axe de symétrie dans le système clinorhombique. Les trois axes de polarisation coïncident avec les trois axes de symétrie dans le prisme rhomboïdal droit. Dans les cristaux carrés et hexagonaux, l'ellipsoïde est de révolution autour de l'axe principal. Dans les cristaux cubiques, comme dans les corps isotropes, il se réduit à une sphère, il n'y a plus qu'une seule constante diélectrique K.

422. Charge et déchaîne du condensateur. — Si le milieu D est un isolant parfait, la charge des armatures et la polarisation de D s'établiront dans un temps inappréciable, et le condensateur séparé de la pile restera indéfiniment chargé. Si, après l'avoir chargé, on relie les deux armatures par un arc conducteur, il revient à l'état neutre et la polarisation du milieu D cesse instantanément et complètement.

En réalité, les phénomènes sont, dans la plupart des cas, un peu plus compliqués. M. Curie ' les résume de la manière suivante :

P Lorsqu'on établit le contact de Li avec la pile, il se produit une charge brusque et instantanée du condensateur.

2^ Les fils de communication sont parcourus par un courant de charge, dont l'intensité décroit plus ou moins rapidement avec le temps. Ce courant peut finir par s'éteindre complètement, c'est le cas général ; ou par acquérir une valeur constante, c'est un cas beaucoup plus rare.

3^ Lorsqu'on décharge, il se produit une décharge instanta-

' J. Curie, Ann. de Chim. 1889, XVII, 385; — Bouty, tWd. 1891, XXIV, 395.

POLARISATION DIÉLECTRIQUE. 539

Dée égale à la charge instantanée, et on courant de décharge dont l'intensité décroit rapidement et finit par s'éteindre.

Les choses se passent donc comme si le diélectrique possédait à la fois une certaine conductibilité , la propriété de se polariser, et celle d'absorber peu à peu l'électricité pour la rendre lorsque la force électromotrice a disparu.

Cette absorption apparente peut d'ailleurs s'expliquer de diverses manières ^ . On peut supposer que, soit par suite d'un manque d'homogénéité du milieu, soit pa^puite de phénomène» analogues à ceux qui sont connus parmi les propriétés des corps solides sous le nom d'élasticité résiduelle, la polarisation n'atteint pas instantanément sa valeur définitive, et ne disparaît pas complètement à l'instant de la décharge. La densité 9, et par suite le mouvement de l'électricité dans le fil conducteur, devra^ d'après les formules ci -dessus, présenter le même caractère. Dans cette manière de concevoir les choses, le courant qui provient de la conductibilité vraie du diélectrique s'ajoute au courant de charge et subsiste seul quand la polarisation est complète.

On peut admettre aussi que le passage du courant à travers le diélectrique fait naître, peut-être par suite d'une action chimique, une force électromotrice inverse qui va croissant jusqu'à une certaine valeur et qui affaiblit ou arrête le courant. La polarisation diélectrique produirait alors la charge instantanée, et la conductibilité vraie du milieu correspondrait au courant initial.

423. Recherches de M. J. Curie '. — Les propriétés des condensateurs plans ont été utilisées par M. J. Curie pour la

^ J.-C. Maxwell, A treatise on Eîectricity and Magnetism, Oxford 1873, I, 874; — BoLTZMANN, Sitzb. Akad, Wien, 1873, LXVIII,82i — Clausius, Meck. Wàrmetheorie, Brunswick 1879, II, 102; — Rowland, Amer. J. of Math. 1878, I, 63; Beibl 1878, II, 568; — J. Curie, loc. cit.

« J. Ctrie, Ann. de Chim. 1889, XVII, 386; XVIII, 203.

détermination des constantes diélectriques d'an certain nombre de substances cristallisées. Les condensateurs plans étaient formés de lames à faces parallèles taillées dans les cristaux à étudier; ces. lames étaient argentées chimiquement, ou recouvertes de papier d'étain sur leurs deux faces, en ayant soin que les deux armatures ainsi obtenues restassent isolées l'une de l'autre. La formule que nous avons énoncée au § 420 suppose que la lame plane est indéfinie, ce qui n'est naturellement pas réalisable. Dans le cas ^ cristaux, on ne peut même pas obtenir des lames assez étendues pour que les effets perturbateurs dus à l'influence des bords soient négligeables. Aussi M. Curie faisaitil usage d'un artifice imaginé par Sir W. Thomson. Sur l'armature L2 on traçait, à l'aide d'une pointe d'aiguille, des traits isolant une partie centrale de surface S facilement mesurable. Au moment où l'on établit l'équilibre du condensateur, on fait en sorte que cette partie centrale soit au même potentiel 0 que la portion annulaire dite anneau de garde qui l'entoure; elle se comporte alors très sensiblement comme si elle faisait partie d'une armature indéfinie, et se charge d'une quantité d'électricité St, g étant la densité donnée par la formule

— KV

Il suffit alors de mesurer cette charge, le potentiel V de l'armature L, , et l'épaisseur d de la lame pour pouvoir déduire K.

Il est avantageux de se dispenser de la mesure de V, et de se borner à comparer le condensateur en expérience à un condensateur étalon formé avec un diélectrique connu ayant un pouvoir inducteur K'; on donnera à V la même valeur dans les deux mesures, et Ton aura, entre K et K', les épaisseurs d et d des deux condensateurs, et les densités t et t' obtenues, la relation

POLARISATION DIELECTRIQUE. 541

M. Carie se servait, poar cette comparaison, d'an condensatear à lame d'air, formé de deux lames de verre argentées avec on anneaa de garde sur leurs faces en regard, et séparées par de petites cales bien isolantes d'épaisseur connue. I^e rapport K/K' est alors la constante diélectrique du cristal étudié par rapport à l'air, ou constante diélectriqtie relative.

Les mesures se faisaient de la manière suivante. L'armature hf et son anneau de garde étaient mis en communication avec le sol, et l'armature Li était liée au pôle positif d'une pile P dont l'autre pôle était au sol. L'armature L^ était en outre reliée par un fil métallique avec un électromètre sensible. Après un temps de charge variable à volonté, on rompait la communication entre L| et la pile, entre L, et le sol; et on reliait Li au sol. Le potentiel de Li devenait nul; L^ restait chargé de la couche S<7 négative amenée pendant la charge, et prenait un potentiel négatif qui était accusé par l'électromètre. On ramenait enfin l'électromètre au zéro en fournissant à Lg, à l'aide d'un appareil spécial, dit quartz piézoélectrique^ que nous décrirons dans un autre chapitre, une quantité mesurée S*? d'électricité positive.

Les diverses opérations se faisaient d'ailleurs automatiquement en temps voulu, à l'aide d'un dispositif mécanique convenable permettant d'opérer très rapidement. En faisant varier le temps de charge, on pouvait, par le même procédé, étudier la marche des phénomènes de conductibilité et d'absorption apparente signalés au § 422.

Nous donnerons à la fin de ce chapitre les principaux résultats de M. Curie'.

* Des méthodes fondées également sur l'emploi des condensateurs plans ont été appliquées par M. F. Braun, Wied, Ann. 18S7, XXXI, 855, à Pétude du «eï gemme, par M. Klemincic, Sitzb. Akad. Wien, 1887, XCVI, 807, et par M. BouTT, Ann, de Chim. 1891, XXIY, 314, à celle du mica.

M2 FBOPBJÉTÈa ÉLECTRIQUES.

♦ 424. Théorie du condensateur plan à diélectrique anisotrope. — Noos supposons one lame cristallisée d'orientation quelconque, dont les deux faces parallèles, très étendues relativement à leur distance, portent les armatures Li et Lt, maintenues aux potentiels Y et 0. La lame étant homogène et d'épaisseur uniforme, tous les points des armatures qui ne sont pas trop près des bords sont dans des conditions identiques ; <!omme dans le cas d'un diélectrique isotrope, l'électricité se distribue avec une densité uniforme ± <r; la polarisation de la lame cristalline amène contre chaque armature une couche de signe contraire ayant également une densité uniforme T ^; les surfaces équipotentielles sont toujours des plans parallèles aux armatures, la force résultante F est toujours normale à celles-ci, et a partout la même valeur

F est d'ailleurs la somme algébrique des forces

4/ = g- <T, et <p = — F" ^»

exercées par la couche a de l'armature, et par la couche superficielle Cn du diélectrique.

Mais la polarisation e du milieu cristallisé dépend de sa constitution, et n'est plus nécessairement parallèle à la direction de la force résultante. Comme d'ailleurs e doit être nul en même temps que F, l'hypothèse la plus simple que nous puissions faire est de supposer que ses composantes e^^j e^, Cg suivant trois axes de coordonnées rectangulaires quelconques sont des fonctions linéaires des composantes F^,, Fy, F^ de la force, ce que l'on peut écrire

e^ = Ko {a,l\ + CsFy + 6,F.)

ey = Ko ihh\ 4- a,Fy -f- c,F.) ( 1)

6, = Ko (c,F^ -f 6,F, + a,l\)

POLARISATION DlÉLECrRKiUE. 543

♦ 425. Or la densité superficielle e» est (§ 412) la projection de l'intensité d'électrisation e sur la normale aux armatures, c'est-à-dire sor la direction de F; si cette normale forme avec les axes de coordonnées des angles a, ^, y^ on a

e„ = e-, cos a + e^ cos |3 -f e, cos y F, = F cos a ; Fy = F cos /3 ; F, = F cos y

et les formules ci-dessus, multipliées respectivement par cos «, cos |3, cos y et additionnées, donnent

en = èF, (2)

ea posant pour abréger

X = ai cos*a + as cos*/3 -f- Oa COS*y

+ (65 -f- C5) COSa C0S|3 + (6, + C) COS (X COSy

-f- (6, + Cl) cos |3 COSy;

R est le rayon vecteur, parallèle à la direction (a, /3, y), de l'ellipsoïde

aïOî* 4- Ojy* -h Oj^ + (6, + Cj) rry 4- (6» + c,) a?^ 4- (61 -f Cl) y-ar = 1 .

Si l'on choisit les axes principaux de cet ellipsoïde comme axes de coordonnées, son équation peut s'écrire

«x^ + vy*-h«.^=i; (3)

les expressions (1) prennent la forme

e, = Ko(£,F,-X.F, + X,F.)

Cy = Ko (X,F, -|- ty¥y l^^

^«î ^if>

et ne dépendent plus que de six coefficients désignés par Ces axes particuliers de coordonnées sont appelés les axes

544 PROPRIÉTÉS ÉLJSCTRIQ17£8.

de polarisation. L'ellipsoïde (3) peut être appelé ellipsoïde inverse d'éledrisation. La projection e^ de Fintensité d'électrisation sur la direction de la force résultante est proportionnelle à l'inverse du carré du rayon vecteur de cet ellipsoïde mené dans la même direction.

♦ 426. Dans le cas qui nous occupe, le principe de la conservation de l'énergie amène une simplification importante. Sir W. Thomson ' a en effet démontré que si X^., ly, >^ n'étaient pas nuls, une sphère taillée dans le cristal et placée dans un champ électrique uniforme pourrait prendre un mouvement de rotation continu et devenir ainsi une source indéfinie d'énergie, ce qui est absurde. Nous devons donc admettre que Xaî=Xy=)v«=0. Les composantes de e suivant les axes principaux de polarisation sont donc

Si la lame cristalline est perpendiculaire à l'axe des X,

F,: = F, F^ = Fe = 0, il vient e^ = e^ = 0, e^ = e = Koe^F,

la polarisation est aussi normale à la lame et parallèle à F. Les axes de polarisation sont donc trois directions rectangulaires du cristal qui jouissent de cette propriété que, lorsque la force résultante est parallèle à l'un de ces axes, elle développe une polarisation qui lui est parallèle.

£xj Êy? £« sont les coefficients d'électrisation principaux ou suS' ceptihilités électriques principales du cristal.

♦ 427. L'expiession (2j de e,, se réduit par conséquent à

e„ = K<, (e^ cos'a + zy cos^/3 + e» cos*-/) F = Ko£nF ;

' w. Thomson, PM. Mag. 1851, I, 177.

POLARISATION DIÉI^CTRIQUË. 545

en posant

c^ = ex COS^a + Sy C0S*l3 -(- e, COS*y .

en représente la susceptibilité dans la direction de la force résultante, qui forme des angles «, |3, y avec les axes de polarisation.

Pour achever le calcul du condensateur, il n'y a qu'à mettre cette valeur de en dans l'expression de 9 du § 424, et à continuer comme dans le cas d'un diélectrique isotrope. Il vient

d'où

K.(l+47:e»)V K„V ^ ~ 4zd ~ 4^ '

en représentant Ko (1 +4716») par K».

Nous avons donc

K^ = Ko (1 -f 4716,0 = Ko ( 1 -h 47r (e^ cOS^a + Sy C0S*(3 -r £» COS^y) )

OU, en remarquant que les axes sont rectangulaires et que

1 = C0S*a + C0S*|3 -f- COS^y,

K„ = Ko ( 1 -f 4716^;) COS*a + Ko ( 1 -H 47re^) C0S*(3 -h Ko ( 1 + 47ie,) COS^y ,

OU encore

Kn = K^ C0S*a + K^ C08*/3 -f K« COS^y ,

en posant

Ko (1 + 47r£.) = K, Ko(l+47re,) = K, Ko(l + 47rO = K,

K„ Kyj K, sont les constantes diéledriqiAes principales du cris-

546 ntOPBIÊTÉB ÉLECTBI<tUE8.

tal. K., la constante diélectrique dans la direction «, 0, y, est l'inverse dn carré du rayon vectear de l'elUpsoIde

K.a^ + Ky + K,^' = 1 ,

que l'on peut appeler eliijpsoide inverse d'indutUon.

Si l'on donne à la lame isolante tontes les orientations possibles dans le cristal, la capacité dn condensateur s'obtient dans chaque position par la même formule que si la lame était isotrope, mais & condition de prendre chaque fois pour constante diélectrique la quantité K. que nous venons de définir.