SYMÉTRIE ET 8YN00NIE

tation des faces qui peuvent exister, des angles qu'elles comprennent entre elles. On voit immédiatement par exemple que, quels que soient les axes choisis, si une face les coupe à des distances pa : qb : rc^ la loi de rationalité des indices implique la possibilité d'une autre face qui les couperait aux distances —pa : — qb : — rc, et qui serait par suite parallèle à la première. Le polyèdre cristallographique possible a donc ses faces parallèles deux à deux et possède un centre de symétrie (§ 6).

Mais la loi de rationalité des indices n^impliquepas que UnUes les faces cristaUoffraphiqtêement possibles aient des stnuiures identiques. L'exemple schématique donné à la fig. 18 (§ 12) nous montre au contraire que l'on peut imaginer une structure telle que les deux faces opposées du cristal, tout en étant parallèles comme le veut la loi Jde rationalité, aient cependant des structures différentes qui les fassent se développer différemment dans des conditions extérieures identiques. ' Des considérations analogues s'appliqueraient aux axes et aux plans de symétrie tout aussi bien qu'au centre que nous avons pris pour exemple.

51. Symétrie et syngonie. — Il y a donc lieu de distinguer soigneusement les deux notions de la symétrie extérieure

mAnière parement géométrique, soit en partant de la sapposition, équivalente à la loi de dérivation, que les molécules des corps cristallisés forment des réseaux à mailles parallélipipédiques par v.Bbzold, Sitzungsb. Akad, Mûnchen, 18Ô3, n, 360; — V. v. Lano, Lehrb. der Kr y stàlîo graphie, Vienne, 1866; — SomrcKS, Pogg. Ann, 1867, CXXXII, 75; et Entunekeîung einer Théorie der KffgiaBstruktur, Leipzig 1879; — Gadolim, Acta Soc. fennic. 1871, IX, 1 ; — K Sbluvg, J. de Lioumtte, 1877, lU, 21 ; — J.-S. Smith, Phil. Mag. 1877, IV, 18; — G. UzuLU, Mem. Acad, Line, 1877; — E. Mallard, Traité de GristaUogrtP^ pkie, Paris 1879; — P. Curie, BuU, Soc. min. 1884, VII, 89, 418; — Fkdorow, 8oe. mm, St-Pétersbaurg, 1884, XX, 334; — Minnioerodi, N. Jahrb. 1887, Beilagebd. Y, 143. Voyez A. Sohœnflibs, KrystaUsysteme und KrystaUstnilctury Leipzig 1891.

70 CBI8TALL0GAAPHIS GÂOliÉTRIQUE.

et géométrique de rorientation des faces, et de la symétrie inté* rienre et physique de la structure cristalline ' .

Ce qui a été dit au § 11 montre que la symétrie physique doit entraîner la symétrie géométrique des formes ; ce que nous venons de dire montre que Tinverse n'est pas nécessairement vrai, et que la symétrie physique peut être inférieure à la symétrie géométrique.

Pour abréger et éviter les confusions, nous donnerons dans ce qui suit le nom de syngonie à la symétrie géométrique de rorientation des faces possibles, et réserverons le nom de symétrie à la symétrie physique de la structure intérieure. Nous^ appellerons système de syngonie^ l'ensemble des polyèdres qui présentent les mêmes élémqiits de symétrie géométrique {cenibrey plans et axes de syngonie) et nous conserverons le nom de système de symétrie à l'ensemble des polyèdres qui ont la même symétrie physique de leur structure. Le théorème énoncé au § 50 consiste donc en ce qu'il n'y a que six systèmes de syngonie qui soient compatibles avec la loi de dérivation, et qu'ils se confondent avec les six systèmes cristallographiques du § 16.

^52. Centre de syngonie. — Nous donnerons ici. une démonstration abrégée de ce théorème important *. Nous avons

^ La distinction entre la symétrie géométrique et la symétrie physiqne a été comprise seulement depuis les travaux de Delafosse, Mém. Sav. Etrang, 1843, VIII, 641; C. R. 1840, XI, 894; XII, 205; 1857, XLIV, 229; et de Bravais, J. de V École polyt. 1851, Cah. XXXIV, 101. La symétrie géométrique indépendante des propriétés physiques a été désignée par M. v. Lang sous le nom (ïisoschétnatisme; Lehrb. d. Krystallog. Vienne 1866,56. M. Bkezina, Methodik der Krystallbestimmung^ Vienne 1884, 272, Pappelle isogonie. Le premier de ces noms est un peu long; le second est quelquefois employé en cristallographie chimique dans un sens différent.

^ Le fond de cette démonstration est tiré principalement du Traité de Cristal' lographie de M. Mallard et de la Théorie der Krystallstruktur de M. Sounoke. Voyez, pour plus de détails, les^travaux cités en note au § 60.

8YMKTK1Ë £T 8YNGOMLE. 71

déjà remarqué dans l'exemple du § 50 que si une face est don née, la loi de dérivation permet toujours l'existence de sa parallèle. Le polyèdre complet aura donc ses faces parallèles deux à deux, n y a toujours un centre de syngonie.

^ 53. Système triclinique. — Nous observerons ensuite que l'existence d'un plan de syngonie P entraîne nécessairement l'existence d'un axe de syngonie L d'ordre pair qui lui est normal, et réciproquement. En effet, une face quelconque A, doit être accompagnée de sa symétrique A, par rapport à P. Chacune d'elles ayant sa parallèle, puisqu'il y a toujours un centre, on obtient quatre faces semblables, également inclinées sur P, et qui se substituent deux par deux les unes aux autres par une rotation de 180° de la figure autour de la normale L. Comme il en est de même pour toutes les faces, L est un axe de syngonie d'ordre pair. La réciproque est évidente.

n en résulte qu'une farme simple ne possédant pas d'axe de syngonie rentre tiécessairenient datis le systhne tridmique. Elle ne possède aucun plan de syngonie, mais seulement un centre, et se compose seulement de deux faces parallèles.

* 54. Axes de syngonie. — Tout axe de syngonie est parallèle à une arête possible, et perpendiculaire à des arêtes possibles. Soit en effet L un axe, A une arête quelconque de paramètre a, formant avec L un angle quelconque.

Nous supposons toujours les arêtes remplacées par leurs parallèles menées par le centre de la figure.

Si L est d'ordre pair, une rotation de ISO"" autour de L amènei-a A à prendre la place d'une arête A' de même paramètre. Les arêtes A et A' sont également inclinées par rapport à L. Tontes les faces possibles qui coupent A à la distance pa^ et A'

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*M L est isipsir (T'iWtc 2'. — 1 . bw irte iptàtmqat A e^T McoiDpuçD^ 4e 21 artics scaiiUAbks. A . A . A«- A^i. <^2s]*rm«Di JDclii>é*s SOT L et âtsécs àaiE d» }âaB« éqndBtani^ jM^aot pir ïki*:. C<e]ai de ces plus qiô paase pir TaritÊ A, ... {Mr exemple, hias^ut l'iogie des arêtes A €f A,..- : fl est parallèle à nue face po^ible parallèle à TarMe A,.,, conpaat l'arête A. à la disuoce po et Taréte A^i à b dtsunoe — pa. Conune il tn est de même des 2it ancres {daœ d^Cenni- 11^ chacoa par L et l'oiie des arttes A. od T<Ht qoe leur ÎDta-sectîoD L eet une arête possible. Une face coopaia les diverses aréte<ï A à des distances égales — /«a est possible et perpendiculaire à L. Ses ioterEectioDS arec d'aatres faces qaelcoDqDes serODt des arêtes possible» perpendicalaires à L.

* 55. Sf»it L un axe d'ordre n, et A la direction d'one arête quelc'Hi'iue contenue dans un plan normal à cet axe. On pent évidemment trouver, dans ce plan.

n arêtes de l'espèce A, comprenant entre elles des angles ^nx ç = ^' .

puisque par nne rotation de^aatonr de L toat élément de la figure doit être remplacé par un élément semblable.

Parmi ces arêtes éqnidistantes qai ont le même paramètre a, prenonsen (fig. 127) trois consécutives A,, . Une l'ace poMsible coupant la première et la troisième à

8ybU':trie et syn<ionik. 73

DnemèmedistaDcejiacoapela seconde à la distance ^costp. Or puisque A, a le même paramètre a qne les deux antres, il fant que p cos ^ soit rationnel. Comme f = ^, cela ne peut avoir lieu qne ponr les valeurs suivantes :

ç = 0 on

cos ç = 1 ;

cos <f = — I ;

cos^ = — ï!

cos ? = 0 ;

cosT= t;

En laissant de côté la valeur n = 1, qui correspond au cas où la normale an plan considéré ne serait pas un axe de syngonie, on voit que l'ordre d'un axe compatible avec la loi de dérivation ne peut être qne 2, 3, 4 ou 6.

* 56. Axes binaires. — Soient deux axes binaires L, et L', (fig. 128). TJne rotation de 180° autour de L', amène L, dans une position symétrique L,. La droite I^, située dans le plan de L, et L'„ doit être aussi un axe binaire semblable à L,. En procédant de même par une rotation autour de L,, on obtient un nouvel axe équidistant L', dans le même plan et semblable à L', , et ainsi de suite. Le plan des deux axes proposés contient ^''- '^^

donc une série d'axes binaires alternativement semblables à L, et L', , comprenant entre eux des angles égaux <f. Si nous avons eu soin de choisir L, et L',, de telle sorte que, dans ce plan, il n'existe pas d'axes plus rapprochés, ou devra forcément, après avoir fait un tour entier autour de la normale à ce plan, retoni-

74 CKlâTALLOGHAPHl£ UKOM ETRIQUE.

ber sur Taxe L, ; l'angle 29 compris entre deux axes L adjacents sera donc an sous-multiple ^ de la circonférence. Si n est pair, la moitié des axes L se confond avec les prolongements de l'autre moitié ; les n/2 axes L distincts sont alors d'espèce différente des n/2 axes L'. Si n est impair, chaque axe L se confond avec le prolongement d'un axe L'. Les axes L et L' sont alors identiques, au nombre de n axes distincts. Si l'on fait tourner successivement la figure de 180° autour de L\, puis de ISO"" autour de L,, on remplace chaque élément de la figure par un élément identique. Or il est facile de voir que cette double rotation équivaut à une rotation unique égale ~ autour de la normale au plan qui contient les n axes binaires. Cette normale est donc un axe d'ordre n.

^ 57. Système clinorhombique. — Supposons maintenant qu'une forme simple possède un ou plusieurs axes de syngonie, mais qu'elle n'en ait pas d'ordre supérieur à deux. Plaçons-la de manière qu'un de ses axes binaires L soit vertical. U y a nécessairement alors un plan de syngonie horizontal (§ 53).

S'il n'y a pas d'autre axe binaire, il ne peut y avoir non plus d'autre plan de syngonie. Donc une forme complète possédant seulement un axe de syngonie binaire rentre forcément dans le Systems clinorhombique.

^58. Système rhombique. — S'il existe un second axe binaire L', il doit former avec le premier un angle |^ , et être accompagné d'un axe d'ordre n^ L'\ perpendiculaire au plan des deux autres (§ 56). La figure n'ayant, par hypothèse, aucun axe d'ordre supérieur à 2, il faut que n soit égal à 2, et les deux axes L' et L" sont perpendiculaires entre eux et contenus dans le plan de syngonie horizontal. Les trois axes sont d'espèces différentes, car des axes de même espèce ne pourraient comprendre qu'un

SyUÉTRlE ET SVNOOiaE. 75-

angle ~ ou 180° daos le cas de n = 2. Leur présence entraîne celle de deux plans de syngonie verticaux qui leur sont perpendicolaires. Il ne pent y avoir d'autres axes en dehors du plan horizontal ; le même raisonnement montrerait qn'il ne peut y en avoir d'autres dans ce plan. Une forme simple complëe ayant plus d'un axe binaire, et n'ayant aucun axe d'ordre plus élevé appartient donc nécessairement au système rbûmbique.

* 59. Cas d'un seul axe d'ordre supérieur à deux. — Si

la figure possède des axes d'ordre supérieur an second, nous pouvons supposer d'abord que l'axe L de Tordre le plus élevé w soit seul de son espèce, et le prendre comme axe des Z vertical. Bans ce cas, s'il y a d'autres axes, ils ne peuvent être que binaires, et ils doivent être contenus dans te plan horizontal : la présence d'un axe binaire obhque sur L, ou d'axes quelconques d'ordre supérieur h. 2, entraînerait évidemment la préseuce d'un on plusieurs axes semblables à, L et ne se confondant pas avec celui-ci.

* 60. Système quadratique. — Supposons que l'axe principal L soit d'ordte 4, et étudions la disposition des arêtes possibles qui sont contenues dans le plan horizontal qui est un pkndesyngonie (§ 53). Une arête quelconque Â, (fig. 129) implique l'existence d'une seconde arête semblable A', perpendiculaire sur la première.

S'il en existe une troisième

A, de même espèce, accompagnée naturellement de l'arête égale A', qui lui est perpendiculaire, elle ne pourra pas bis-

76 CRISTALLOGRAPHIE GÉOliéTRIQUE.

séqner l'angle A, A\, puisqu'il ne peut y avoir trois arêtes égales formant entre elles un même angle de 45^ (§ 55). Les arêtes semblables A,, A,, A',^ A\, dont chacune forme un angle <p<45° avec l'une de ses voisines, et un angle 90° — ç avec • l'autre, se trouvent toutes dans les mêmes situations relatives. Mais il ne peut exister une seconde arête de même espèce A'\ entre A\ et A„ car, dans ce cas, trois arêtes consécutives ne pourraient se trouver dans les mêmes situations relatives et être réellement de même espèce que si toutes ces arêtes formaient des angles égaux. Ces angles devraient être de 30°, ce qui est impossible. Les arêtes semblables à A, forment donc deux couples symétriquement disposés par rapport à deux bissectrices rectangulaires L, et L, . Ces bissectrices sont des arêtes possibles du cristal, puisqu'elles sont parallèles respectivement aux intersections des faces qui coupent les arêtes A, et A, aux distances +jpa et — pa pour l'une, -^pa et -\-pa pour l'autre ; et forment un système de deux arêtes semblables et seules de leur espèce. Il en est de même des bissectrices L\ et L\ qui forment un second système analogue à 45° du précédent.

Un raisonnement tout à fait semblable i^us montrerait que toutes les autres arêtes horizontales sont disposées par systèmes de deux couples symétriques par rapport aux mêmes bissectrices L,, L„ L\, L',.

n en résulte que si l'on fait tourner la figure de 180° autour d'une de ces bissectrices, l'axe vertical est simplement retourné bout pour bout, et chaque arête horizontale est remplacée par une arête identique. Il en est de même des faces quelconques que l'on peut construire conformément à la loi de dérivation sur les axes L, L, et L, ou sur les axes L, L',, L',. Les 4 bissectrices sont donc des axes binaires entraînant Texistence de quatre plans de syngonie verticaux qui leur sont perpendiculaires. Il ne peut pas y avoir d'autres axes binaires ni horizontaux (§ 56), ni