TMÉTRIE ET 8YNG0NI

en dehors du plan horizontal (§ 59), et, par conséquent, pas d'autres plans. Donc une forme simple complète possédant un seul axe quaternaire rentre nécessairement dans le système quadratique.

t¥ 61. Système hexagonal. — Le même raisonnement s'applique exactement au cas où il n'y aurait qu'un seul axe sénaire, sauf que les arêtes vont toujours par groupes de 3 ou de 6, et que les angles à considérer sont de 60° ou de 30°. On aura donc, à côté de l'axe sénaire vertical, un premier système de trois axes binaires égaux et horizontaux, inclinés de 60° les uns sur les autres, un deuxième système de trois axes binaires bisséquant l'angle des précédents, un plan de syngonie normal à Taxe sénaire et deux systèmes de trois plans de syngonie verticaux normaux aux axes binaires, qui, avec le centre, complètent la syngonie hexagonale et ne permettent l'existence d'aucun autre élément de syngonie. Une forme simple complète qui possède un seul axe sénaire rentre nécessairement dans le système hexagonal,

^62. Si l'axe des Z est un axe ternaire, une arête quelconque comprise dans le plan horizontal fera partie d'un système d'au moins trois arêtes semblables A,, A,, A,, se coupant sous des angles de 120°. L'angle des deux arêtes A,, A, est d'ailleurs bisséqué par le prolongement A, de la troisième arête. La distribution des arêtes possibles est doue exactement la même que dans le système hexagonal. Construisons une face M quelconque sur L et sur les arêtes A, et A,, par exemple. Par une rotation de 60*" autour de l'axe vertical. A, aura pris la place de A', qui a même paramètre ; A', aura remplacé A,, la face M aura pris la place de la face possible M' que l'on aurait pu construire avec les mêmes indices sur A', et A, , c'est-à-dire

78 COISTALLOURAPHIB GÉOUÉTHIQUE.

d'one face qui lui est géométriquement semblable dans la S}iikonie bexagouale. Il eu est de même par une rotation autour d'un des axes binaires horizontaux du paragraphe précédent. Toutes les faces de la syngonie ternaire appartiennent à la syngonie hexagonale, et réciproquement. Donc il n'y a pas de syngonie ternaire distincte. Une forme simple complue ne peut avoir un seul axe de aytigonie ternaire.

* 63. Cas de plusieurs axes d'ordre supérieur à deux.

— Il résulte de ce qai a été dit an § 59 qu'il existe toujours, ^ans ce cas, plusieurs axes du même ordre. Nous supposerons, pour simplifier les raisonnements, qu'une sphère de rayon arbitraire a été décrite autour du centre du cristal, et nous représenterons les divers axes par les points où ils coupent cette sphère.

Soient (fig. 130) L, et L, deux axes d'ordre n tels qu'il n'y en ait pas de plus rapprochés l'un de l'autre. Une rotation de '-■ autour de L, amènera L, dans une position L, qui doit être dès lors un axe de même espèce. Une rotation — aatonr de Lj donnera un nouvel axe L„ et ainsi de suite. Les points L,, L,, L,..., où ces axes coupent la sphère sont tes sommets d'un polygone sphérique régulier à k angles, qui doit être fermé sur lui-même et non étoile, sans quoi l'on arriverait à trouver un axe plus rapproché de L, que ne l'est L„ ce qui ne peut

Fig, 130. ' ^ ..1 F

être.

Chacun des côtés de ce polygone peut de même servir de base à un polygone égal obtenu par le même procédé, et la surface de la splière se trouve ainsi décomposée en une série de poly-