YMÉTRIS ET 8YNG0NIE

gones réguliers égaux dont chaque sommet correspond à un axe de syngonie d'ordre n. Ces polygones doivent épuiser la surface de la sphère, car sans cela il existerait des axes plus rapprochés que L, et L,.

Or, la surface P d'un polygone sphérique régulier dont les k angles ont la même valeur -^ est donnée par la formule

4nV = [2n—k{n — 2)]S

où S est la surface de la sphère. P devant naturellement, avoir une valeur positive et différente de 0, il faut qu'il en soit de même de l'expression

et lorsque n est donné, cela ne peut avoir lieu que pour certaines valeurs déterminées de A;, à chacune desquelles correspond un certain polygone sphérique et une certaine distribution des axes possibles.

♦ 64. Axes sénaires. — Si n= 6 on a 9= 12 — 4A; qui n'est positif que pour k = 2. Un polygone sphérique ne peut avoir deux sommets seulement que si ceux-ci sont placés aux deux bouts d'un même diamètre de la sphère. Les deux axes sénaires qui leur correspondent sont donc dirigés suivant une même droite et se confondent en un seul. Aîtcune fm^me simple ne peut avoir plvs Wun axe sénaire.

* 65. Axes quaternaires. — Si w = 4 on a cp = 8 — 2 A; qui est positif pour & = 2 et pour k = S. Cette dernière solution donne seule des axes de directions différentes (§ 64), et conduit àP=^S. Le polygone est un triangle sphérique rectangulaire. Les axes quaternaires possibles, au nombre de trois, sont diri-

80 ORISTALLOGBAPHIB QÂOHéTBIQDK.

gés comme les aonnales aux &ces d'nn cabe. H ne peut en exister d'autres, car on ne peut trouver dans l'octant L, L, L, g. 131) une direction qni ne fasse pas avec les axes des angles pins petits que ceox que L„ L„ L, comprennent entre eux.

Une droite L' passant par le milieu du polygone est un axe ternaire; on voit aisément, en effet, qu'une rotation de ^ autour de L' produit lemëme effet

que deux rotations de 90° effectuées Pig. m. ^ , ,. .

successivement autour des directions

L, et L„ rotations qni sont compatibles avec la syngonie quaternaire de ces axes. Les huit octants donnent donc huit axes ternaires dirigés suivant quatre droites distincte qni joignent les sommets opposés du cube. Il ne peut y avoir d'autres axes ternaires : leur existence entraînerait celle d'axes quaternaires autres qneL,, L„ L,.

Une rotation permise de 90° autour de la direction L„snivie d'une rotation également permise de 180° autour de la direction L„ équivaut à une rotation de 180° autour d'une droite L* bisséquant l'angle L,L, : cette droite L" est un axe binaire; il y a donc douze axes binaires tels que L" se confondant en six directions distinctes qni joignent les milieux des arêtes opposées du cube. Il ne peut y en avoir d'autres, car il en résulterait l'existence d'antres axes quaternaires, ce qui ne peut être. Cet ensemble d'axes quaternaires, ternaires et sénaires qui s'accompagnent nécessairement, joint au centre qui existe toujours, et aux plans de syngonie normaux aux axes d'ordre pair (§ 53), constitue la syngonie cubique. Toute forme simple qui possède plus d'un axe quaternaire distind appartient au système cubique.