STICÉTRIE ET 8TN00MIE

♦ 66. Axes ternaires. — Si n= 3, on a <p = 6 — Jk; les valeurs de k qui rendent 9 positif sont A; = 2, 3, 4 et 5, dont les trois dernières seules donnent des axes de directions distinctes.

Avec A; = 3 on a P = i S. La sphère est partagée en quatre triangles égaux dont les sommets sont ceux d'un tétraèdre régulier. Les quatre rayons aboutissant à ces sommets sont donc des axes ternaires; mais comme il y a toujours un centre de syngonie, les deux sens opposés de ces droites sont identiques, et Ton rentre dans le cas suivant.

La solution *; = 4 donne P = iS. La surface de la sphère se résout en six carrés sphériques dont les sommets correspondent à ceux d'un cube. Les huit axes ternaires qui y aboutissent se confondent en quatre droites distinctes joignant les sommets opposés du cube. Un raisonnement tout à fait analogue à celui du § 65 nous montrerait que l'existence de ces axes ternaires entraine celle de trois axes binaires égaux, normaux aux faces du cube. Sur ces trois arêtes rectangulaires de même paramètre nous pouvons construire une face pa : qa : ra. Toutes les faces obtenues en permutant les valeurs positives ou négatives des mêmes indices p^ q^ r seront aussi des faces possibles et leur ensemble constitue un hexakisoctaèdre. On retombe ainsi sur la syngonie cubique.

La dernière solution A; = 5, d'où P = ^ S, conduit à partager la sphère en douze pentagones réguliers. Mais on voit alors (fig. 131 ci-dessus) que par quatre rotations permises de ^ effectuées successivement autour des directions L,, L,, L,, L,, on amène finalement la figure à occuper la même position que par une rotation ^ autour de la ligne L, qui passe par le milieu du pentagone. Cette ligne serait donc un axe de cinquième ordre, ce qui ne peut être (§ 55).

Donc, en résumé, les seules formes simples complètes cristallographiquement passibles qui possèdent plus d'un axe ternaire

82 CRISTALLOOKÂPHIE GÉOMÉTRIQUE.

rentrent nécessairement dans le système cubiqtie. Ceci achèye la démonstration du théorème énoncé au § 50.

67. Phénomène général de la méroédrie. — Dans les cristaux appartenant aux systèmes holoédriques que nous avons étudiés au Chapitre II, on observe que les diverses faces d'une même forme simple présentent toujours, en moyenne, sur Tensemble des cristaux de même espèce, des développements égaux. Les variations sont simplement accidentelles et résultent, comme nous l'avons vu, du déplacement parallèle des faces suivant les circonstances accessoires de la cristallisation.

On peut en conclure que ces faces ont des structures identiques et que, dans les cristaux holoédriques, la symétrie physique est égale à la syngonie extérieure (§51).

Mais il existe des substances qui se comportent autrement, et dont les cristaux, tout en ayant les angles des formes holoédriques^ manifestent une différence constante et régulière dans le développement relatif ou dans l'état physique des diverses faces appartenant à une même forme simple. La forme simple se comporte alors comme une forme composée, comme si elle résultait de la superposition de plusieurs formes simples distinctes se développant séparément, et présentant par conséquent quelque différence dans leur structure.

Il pourra se faire, par exemple, que, dans un cristal appartenant en apparence au système cubique, les huit troncatures sur les angles, qui conduisent à l'octaèdre régulier, se développent toujours inégalement, quatre d'entre elles, par exemple celles qui sont placées sur les angles a de la figure 132, étant toujours plus grandes ou plus nettes que les quatre autres placées sur les angles a'. On devra en conclure que le cristal considéré, tout en ayant la syngonie du système cubique, possède en réalité une symétrie physique inférieure ; car la symétrie cubique

SniÉTBlE KT SrMUONIE. 83

«zige qu'âne rotation de 90° aatoar d'an axe quaternaire AA

amèDe chaque élément da cristal & la place occopt^e d'abord par

QD élément de même strnctnrc, tandis

qae les angles a, que cette rotation

sntffltitae aux angles a', n'ont pas, ne

peuvent pas avoir une même structure,

puisque des troncatures différentes s'y

développent sous l'influence des mêmes

conditions extérieures.

Pour obtenir le remplacement d'nn

■^ Fig. 18i!.

angle a par un angle identique, il faut faire tourner la figure autour de AA non pas de 90°, mais de 180°. Dans les cristaux qui présentent cette particularité, l'axe AA n'est donc pas un axe quaternaire, mais seulement un axe binaire. Le cristal n'a pas la symétrie cubique, mais bien □ne symétrie inférieure qui ne se confond toutefois avec celle d'ancun des systèmes holoédriques que nous avons vus. On est donc amené à reconnaître l'existence de systèmes de symétrie autres que les systèmes holoédriques. Ces nouveaux types sont les systèmes méroédriqueB.

68. Des méroédries possibles. — Chaque système cristallographique, ou système de syngonie, comprend donc non seulement un système holoédrique de symétrie correspondante, mais encore un certain nombre de systèmes méroédriqaes dont la symétrie est inférieure et s'obtient en réduisant successivement les éléments de symétrie du système holoédrique.

Une forme simple mêroêdrique est formée seulement d'une partie des faces de la forme simple holoédrique, de celles qui possèdent même strttciure, et qui dérivent les unes des autres en vertu de la symétrie physique du système mêroêdrique. Le polyèdre holoédrique est ainsi décomposé en un certain nombre

84 CBISTALLOGKÂPHIE GÉOMÉTRIQUE.

de formes simples méroédriqaes qui se développent indépendamment, mais qui doivent toutes posséder une même symétrie^ puisqu'elles sont des manifestations extérieures de la structured'un même cristal. Comment cette décomposition doit-elle s'effectuer? C'est là une question à laquelle on ne peut répondre complètement, car, ignorant à peu près tout relativement aux forces moléculaires, nous ne savons pas à quelles conditions de^ symétrie la structure des cristaux est astreinte.

69. Tout ce qu'on est en droit d'affirmer a priori sans introduire de définitions arbitraires ou d'hypothèses particulières sur la nature et l'arrangement des molécules, c'est que le polyèdre méroédrique doit être symétrique, c^est-à-dire se présenter de la même manière par rapport à chacune des faces de même espèce qui le constituent; car autrement ces faces n'auraient pas même structure, ne se formeraient pas en même temps dans les mémea conditions, et ne seraient pas réellement de même espèce ' .

Cette remarque est importante, parce qu'elle permet de déterminer par un raisonnement purement géométrique lea divers types de» symétrie que l'on peut s'attendre à rencontrer parmi les cristaux méroédriques. On trouve^ en effetj qu^à côté des six systèmes holoédriqties ^ U ne petd exister que vingt-siax systèmes méroédrique de symétries distinctes. Nous les énumérerons au chapitre suivant, sans nous étendre sur leur déductioa

* Plusieurs cristallographes allemands admettent de plus que les deux extrémités opposées d'un même axe de symétrie doivent être coupées de la. même manière par un même nombre de faces. Groth, PhysikoUische Krystailographie, 2* édit. Leipzig 1886, p. 227. Cette définition a le tort de ne pas comprendre les formes dites hémimorphes (§ 73) où, comme dans les autres méroédries, la symétrie physique est inférieure à la syngonie, et il en résulte un certain désordre, un vague complet quant à la place que l'on doit attribuer à certains types de symétrie (voir par exemple îoc, cit.., p. 228 et les tétartoédries du système hexagonal, p. 332).

andn'Bm et byngonie. 85

géométriqae. Noos ignorons d'ailleurs si tons ces systèmes possibles géométriqiiemeiit sont également possibles physiquement.

* 70. Diverses lois de réduction d*an polyèdre holoédriqne peuvent conduire à des formes symétriques. Ainsi le polyèdre holoédriqae peut être décomposé en deux ou plusieurs polyèdres méroédriques qui diffèrent les ans des autres par le nombre ou la disposition de leurs faces. Exemple (fig. 133): Syngonie hexagonale avec symétrie rhombique ; deux faces latérales opposées du prisme hexagonal étant, par leurs propriétés physiques, ^lifTérentes des quatre autres qui restent identiques entre elles.

Fig. 133. Fig. 134.

— Ott bien le polyèdre holoédrique est décomposé en trois, six, 4ouze, etc., polyèdres méroédriques semblables entre eux. Exemple (fig. 134) : Syngonie hexagonale avec symétrie clinorhombique, l'axe de symétrie étant dirigé suivant AA. — Ou bien enfin le polyèdre holoédrique est décomposé en deux, quatre, huit, on seize polyèdres méroédriqaes semblables entre eux. -Ce cas est le seul qui soit habituellement pris en considération. n arrive souvent en effet qu'an polyèdre méroédrique déduit d'une syngonie donnée rentre, comme cas particulier, dans un ■système holoédrique ou méroédrique de syngonie inférieure. (Exemples ci-dessus, fig. 133 et 134). Tant que l'on ne fait pas intervenir qnelqne théorie particulière et plus ou moins hypo-

86 CRISTALLOGRAPHIE oAOMÂTRIQUE.

thétique sur la stnictare intime des cristaux, l'on n'a aacone raison de séparer de tels polyèdres des autres polyèdres de même symétrie, et d'attribuer à ces méroédries une existence distincte.

Plusieurs auteurs ont cependant admis des subdivisions de ce genre (hémiédrie et tétartoédrie rhombotypes du système quadratique, hémiédrie monosymétrique du système rhombique, etc.). Nous nous bornerons à les indiquer en note à leur place.

Or ce n'est qu'en partageant le polyèdre holoédrique en deux, quelquefois en quatre, plus rarement encore en huit polyèdres semblables que l'on obtient des méroédries de symétries distinctes. Dans un cas cependant (tétartoédrie sphénoïdale du système quadratique, § 85), le polyèdre obtenu, quoique ayant les éléments de symétrie d'un polyèdre de syngonie inférieure, a un nombre de faces plus grand que ne l'exigent ces éléments de symétrie. Les éléments de Bravais, centre, plans et axes, ne sont donc pas suffisants pour définir toutes les formes cristallographiques possibles. C'est ce qui a conduit plusieurs des auteurs cités au § 50 à leur en adjoindre d'autres.

71. Remarque. — Les trente-deux systèmes hoioédriques et méroédriques (§ 69), basés sur la symétrie de la structure et de l'ensemble des propriétés physiques, constituent évidemment la seule classification cristallographique qui soit rationnelle et vraie.

Pour toutes sortes de raisons pratiques, il est indispensable, cependant, de grouper ces systèmes en classes moins nombreuses et de caractères pjus tranchés. Ce but est parfaitement atteint par les six systèmes cristallographiques fondés sur la syngonie, c'est-à-dire sur la symétrie géométrique de la position de toutes les faces qui peuvent exister simultanément, sans violer la loi de dérivation.

SYMéntlE ET 87NG0NIE. 87

Les formes appartenant à un système de syngonie ne peuvent appartenir en même temps à un antre système que dans des cas très particuliers, pour des valeurs déterminées et exceptionnelles des paramètres et des angles des axes. Les systèmes cristallographiques sont donc aussi distincts qu'il est possible.

D'autre part, les systèmes holoédriques et méroédriques d'une même syngonie ont bien un caractère fondamental en commun. Toutes les faces d'une forme méroédrique existent nécessairement associées dans la forme holoédriquë correspondante. Toutes les faces d'une forme holoédriquë sont des faces cristallographiquement possibles dans les méroédries correspondantes.

88 CBISTALLOO&ÂPHIE GÉOMÉTRIQUE.