THÉ0BIE8 DE LA 8TBUCTUHË DES CRISTAUX

* 129. Nons donnons, dans les figures qui suivent, la disposition des quatorze modes réticulaires de Bravais. Dans chaque figure ta partie située au-dessous de la ligne OY représente un plan rétîeulaire horizontal, quelconque dans le système tricliui- ^oe; perpendiculaire & l'axe de symétrie principal dans les systèmes clinorhombique, hexagonal et quadratique, à uu axe de symétrie binaire dans le système rhombique, à un axe de symétrie quaternaire dans le système cubique. Les molécules situées dans ce plan sont figurées par des points blancs. La partie de la figure qui est au-dessus de la ligne OY représente de même un plan réticulaire passant par la rangée OY, plan qui est incliné et passe par une rangée quelconque OZ dans le système triclinique, mais qui est pris vertical ainsi que OZ dans les autres systèmes. Sur ces deux plans on a projeté en outre, sous la forme de petits cercles, les molécules placées sur les plans réticulaires qui leur sont parallèles et adjacents, loi^queccs projections, faites sur le plan horizontal parallèlement à la rangée

Fig, 879. Fig, JSO.

OZ, et sur le plan vertical parallèlement à. la rangée OX, ne viennent pas se confondre avec les molécules déjà figurées.

Dans le système cubique Bravais distingue :

1** Le mode hexaédraî (fig. 279). La maille du réseau est un cube portant une molécule à chaque augte.

164 FBOFRIÉTÊB HOLÂCDI^tBBe.

2" Le mode octaédral (fig. 280). La maille peut être considérée comme an cnbe portant des moléeales sar ses angles et aoz milieux de ses faces.

3" Le mixle âoâécaédral (fig. 281). La maille est an cabe portant des molécules snr ses angles et en son centre.

Fig. 283.

Dans le système qiiadralique on trouve : -1" Le mo(h hexaiilral (fig. 282). La maille est un prisme droit à base carrée avec une molécule sur chaque angle.

5° Le mode octaédral (fig. 283). La maille est un prisme

THÉOBEEB DE LA STBUCTUBE DEB OBISTADX. 165

droit à bsse carrée portant des molécules sar ses angles et eu

son centre de figore.

Le système hexagonal n'est représenté qne par nn seal mode : 6' (Fig. 284.) La maille est nn prisme triangulaire portant

des molécules sar ses angl».

Fig. 286. Fig. -Ain.

Dans le système rkombique :

7* Le mode hexaédral redangle (fig. 285). La maille est un droit rectangulaire avec des molécules sur ses angles. 8' Le mode hexaédral rhombique (fig. 286). La maille peut

Fig. aST. Fig. 2BS.

être considérée comme un prisme droit rectangulaire portant àm nK^éciries sar ses angles et aux milieux de ses bases.

166 PBOPH1ÉTÉ0 H0L.ACCLAIRE8.

9° Le mode octaédral rectangle (fig;. 287). La mulle est tut prisme droit rectangalaire portant des molécales sar ses angle» et en son centre.

1 0<> Le mode octaédral rhombique (fig. 388). La maille est nn

Fig. 2S9. Fig. 390.

prisme droit rectangulaire portant des molécules sur ses angle» et aux milieux de ses faces.

Dans le systi'me d'inorhomhique :

11° Le mode hexaédral (fîg. 289). La maille est an prismedroit à base parallélogramme avec une molécule sur chaque angle.

12° Le nmh: ociaétJral i^fig. 290). La maille est un prisme droit à base parallélogramme, arec des molécules sur les angles et au centre.

Dans le système (ridimqiie il n'y a qu'un seul mode ;

13" {Fig. 291.) La maille est un parailélipipède doublement oblique portant une molécule sur chaque angle.

Entin le si/stème iliomboédrique est représenté par un mode :

14" (Fig. 292.) Ici il y a trois plans rétieulaires horizontaux

successifs dont les projections sur XOY sont distinctes. Le&

molécules situées dans le plan XOY sont toujours figurées en

Fig. 201.

THÉOBISS DE LA BTBnCTimE DES CHI3TAUS. 167

blanc, celles qui soot dans le plan imméâiateineDt supérieur, en

gris, celles dn troisième plan en noir.

Le quatrième plan horizontal se projet- 1

terait de nonvean sar le premier. La

maille est on rhomboèdre ayant ane mo- [

téenle snr chaque angle.

130. Influence de la symétrie des molécules. — L'existence des systèmes cristallographiques et de leur sy- j métrie se présente donc comme une conséquence immédiate de la structure réticnlaire. Toutefois, en supposant, comme ' " ""'

nooB venons de te faire, qu'un seul réseau parallélipipédiqae représente la structure dn cristal, nous n'avons pas rencontré la symétrie des types méroédriques, à l'exception du système rhomboédrique.

Or nous ne sortirons pas du résultat général énoncé au § 125, si noQS admettons que les molécules placées sur les nœuds des réseaux de Bravais ne sont pas des sphères ou de simples points géométriques, mais que ce sont des polyèdres, ou des groupes d'atomes chimiques ou de molécules plus simples.

Ces polyèdres ou ces groupes (moléctdes cristallines) penvent posséder enx-mêmes one symétrie déterminée. Si la molécule a une symétrie égale on supérieure à celle du réseau, la symétrie de ^'^- ^^*-

celui-ci snbsistera dans le cristal, mais si la molécule a une symétrie inférieure, le cristal ne pourra posséder que les éléments de symétrie qui sont conminns à la molécule et au réseau.

168 PROPUiTis MOLiODLAIIBS.

Noos répétons ici on exemple, déjà donné an § 12, d'une rédaction de symétrie obtenue par ce procédé. Dans l'assemblage de la figure 293, les plans réticulaires restent les mêmes que dans l'assemblage à molécules Gfymétriques ; les fekces possibles gardent leur orientation, mais les molécules se présentent différemment sur des faces qui seraient semblables dans le cristal holoédrique : ces faces peuvent alors se comporter comme des faces d'espèces différentes.

Des molécules rhomboédriques disposées suivant un réseau hexagonal forment un cristal à symétrie rhomboédrique, aussi bien que des molécules sphériques, hexagonales ou rhomboédriques disposées suivant un réseau rhomboédrique. Dans l'un et l'autre cas, il ne reste qu'un centre, un axe principal ternaire, trois axes horizontaux binaires et trois plans de symétrie verticaux.

En prenant un réseau quelconque et en y substituant des molécules de moins en moins symétriques, on arrivera ainsi à réduire de plus en plus sa symétrie sans altérer sa sjmgonie. L'exemple de la figure 133 (§ 70) correspondrait à un réseau hexagonal de molécules rhombiqaes. Il est du reste assez naturel d'admettre que cette réduction de la symétrie du réseau ne doit pas aller en général jusqu'à donner au cristal les propriétés d'un réseau de syngonie inférieure : le réseau lui-même ne se forme qu'en vertu de forces qui dépendent de la structure des molécules; on peut penser avec Bravais qu'en règle générale les molécules d'une substance donnée adopteront, parmi les sept systèmes réticulaires, celui dont la symétrie offre le plus d'éléments communs avec la symétrie qu'elles possèdent elles-mêmes. Moyennant cette restriction, la substitution de molécules de moins en moins symétriques dans les divers réseaux simples a conduit Bravais précisément aux trente-deux systèmes que nous avons étudiés (§103).

THiOBIOB DE LA nBDOTDBB OBB OBIBTAUX. 169

131. Théorie de H. Sohncke. — La théorie de Bravais qoe nons Tenons de résomer suppose le cristal fonné de molécules tOQtes identiques et parallèles entre elles, ayant leurs centres de gravité sur les nœnds d'nn seul et même réseau parallélipipédiqae. Le cristal se présente de la même manière pour on obserratenr placé de la même manière dans chaque molécule.

M. Sohncke' a cherché d'une manière générale à déterminer tons les systèmes de points identiques entre eux qui satisfont à cette dernière condition. Dans beaucoup de cas, mais non dans tous, on peut considérer ces systèmes plus généraux comme résnltant de réseaux de Bravais dont cha • qoe molécule serait remplacée par certains groupes déterminés de molécules semblables, mais différemment orientées.

Par exemple, dans la figure 283, qui représente nn réseaa dn prisme droit à base carrée, nous pouvons remplacer chaque nœad par un système de quatre molécu- r>g. ss*.

les semblablement placées par rapport à ce nœud dans un plan perpendicnlaire à l'axe quaternaire (fig. 294). Ou encore, dans tm des trois réseaux dn système cubique, nons pouvons remplacer chaque nœad par un système de ringt-qnatre molécules réparties, comme l'indique la figure 295, en six couronnes carrées iJPO'Hfl de quatre molécules , placées chaeone sur une face d'un cube ^- ^^- '"'s- *^^-

ayant ce ncend ponr centre. Au lieu du système de vingt-quatre molécules, nous, pouvons employer de même nn système de

' L. SoHHCSC, Die unbeffretaten Ttgelmàssigen PunkUysteme aU Orundlage tmer Théorie der KjyetaUstruktur, Karlsruhe 187G; Entmckelung einer Théorie ier SryftoJtotrHJttur, Leipzig, 1879.

170 PB0PBIÉTÉ8 U0LÉCULAIBB8.

doaze molécalea seulement représenté fîfnire 296. Dans ces figares et dans celles qui suireot , les molécnles sont d'aatant plas ombrées qu'elles se troaveDt dans an plan plas élevé andessus da plan de projection.

Pins généralement, on pent considérer nn système régulier de Sohncke comme formé de plnsienrs réseanx de Bravais éganx et parallèles, enchevêtrés les nos dans les antres. Les molécnles appartenant & nn même réseau sont parallèles entre elles, mais l'orientation des molécules est différente sur les différents réseaux. Ainsi, dans la figure 294 ci-dessus, un observateur placé successivement sur les quatre molécules d'un même groupe ne verra le système de points se présenter cha<]ne fois de la même manière qu'à condition de se placer Ini-méme chaque fois de la même manière par rapport au centre du groupe; par exemple de regarder toujours ce centre. M. Sohncke distingue ainsi soûante-cinq systèmes réguliers, dont chacun comprend le pins souvent un certain nombre de cas particuliers, de symétries pins au moins distinctes.

* 132. Xe pouvant les étudier tous, nous nous contenterons, atin de donner une idée plus complète de cette théorie, de passer en revue les systèmes de points réguliersqui peuvent être considérés comme possédant un axe de symétrie sénaire. Ce sont :

1° Le système du prisme hexagonal. Prenons nn ré- ^^f- ^'''- seau hexagonal de Bravais

représenté à la fignre 284. Remplaçons chaque nœud par nn hexagone régulier, ayant ce nœud pour centre, et orienté d'ailleurs d'une manière quelconque dans le plan horizontal. Nous

THÉORIES DE LA BTBDCTUBE DES CBISTAUX. 171

obtiendrons leréseaa multiple de la âgare 297. Cbaqae point de la Bgareest la projection d'une infinité de points éqnidistants sitaés dans sa verticale. Ce groopement possède dans le cas général l'axe de symétrie sénaire, le plan de symétrie horizontal et le centre de symétrie ; il a donc les caractères de lliémiédrie pyramidale (§ 88). Dans le cas particalier où les hexagones sont symétriques par rapport aux axes du réseau de Bravais, on a de plus les deux systèmes de plans de symétrie verticaux et d'axes de symétrie binaires horizontanx, on rentre dans le système hexagonal holoédriqae.

Chaque hexagone peut se réduire à. sou centre; et d'ailleurs, en considérant chaque hexagone comme une seule molécule complexe, on peut assimiler ce système à un réseau de Bravais; mais, d'autre part, les hexagones voisins peuvent s'étendre et se joindre, et former un système de cellules hexagonales qui n'est pas représenté parmi les systèmes de Bravais (fîg. 298).

2° Le sy^ème de la triple spirale à six points. Sur chaque hexagone du système précédent, on supprime les molécules 1>

o o o oo oo oo o

o o o o o o o oo o

o o o oo oo oo o

Fig. 398. Fîg. 399.

3, 5 sur les plans réticalaires de deux en deux, et les molécules 3, 4, 6 sur les plans réticnlaires intermédiaires (tig. 299). Ici l'axe de symétrie principal est à proprement parler ternaire; la rotation d'un sixième de tour autour d'une perpendiculaire an plan de projection amènerait nn point noir à la place d'un point blanc. Mais, comme M. Sohncke le fait remarquer, cette particularité ne peut se manifester par aucun phénomène phy-

1T2 pBontiiTis iioii»^LAiBss.

siqae '. 11 mffit de joindre à la rotation d'on sixième de toor on déplacement parallèle à l'axe ^al & la distance de deu plans rétiealaires consécutifs poar obtenir ane saperposition complète. Le plan snpérienr a, dans la direction 1-4, la même stractnre qae le plan immédiatement voisin dans la direction 3-6; comme jamùs il n'arrive qa'nn phénomène physique n'intéresse qn'uii plan réticalaire seulement, ces deux directions se comportent en somme exactement de même, et l'axe a toutes les propriétés physiques d'nn axe sénaire. £o considérant en bloc trois plans réticulaires consécutifs, on voit que ce système a la même symétrie que le précédent. On ne peut pas du reste l'assimiler à un réseau de Bravais sans le disloquer d'une manière arbitraire, et il en est de même des autres systèmes à spirales.

3° Le système de la double ^ale à stir jtoints (ûg. 300). Chaque hexagone ne garde que les molécules 1 et 4 sur le premier plan réticulaire, 2 et 5 sur le second, 3 et 6 sur le troisième. Le quatrième plan réticulaire est de nouveau identique au premier.

Chaque hexagone donne lieu ainsi à deux spirales Fig- s*»- enroulées l'une dans l'an-

tre, dont le pas est égal à six fois la distance de deux plans réticulaires adjacents. L'enroulement peut d'ailleurs se faire tout aussi bien en sens inverse ; on arrive ainsi à deux systèmes conjugués non superposables. L'axe principal est en réalité binaire, mais a, comme au cas précédent, les propriétés physiques d'un axe sénaire. 11 n'y a pas d'autre élément de symétrie dans le cas général : c'est la tétarloédrie hémimorphe du § 90.

' L. Wi-LKF, Zeilscli. f. Kryst. 1683, XIII, 503: — XIT, 417.

THÉORIES D£ LA STEUCTURE DES CBIBTAnZ. 173

Si les hezagoDee sont symétriquement orientés par rapport aa résean de Bravais, leara axes horizootaoi deTiennent des axes de symétrie binaire de l'assemblage et l'on a les caractères de lliémiédrie trapézoédriqae (§ 87).

4° Le système de la spirale à six points (fig. 301). Sar chaqne hexagone du premier plan réticnlaire on garde seulement la molécule 1, sar le second plan réticnlaire la molécule 2, sur le troisième la molécule 3, et ainsi de suite. Chaque hexagone

donne liea à une seule spirale qui peut être enroulée dans un sens on dans l'autre. Les caractères de symétrie sont les mêmes qoe dam le cas précédent.

5° Le Sjf^me du prisme hexagonal composé (^. 302). Oiaqae point da système u" 1 est remplacé par deux points, sitnéa en général dans des plans horizontaox rapprochés, mais distincts, et placés' symétriquement par rapport aux axes binaires dn réseau de Bravais. La projection sur le plan horizontal est donc an dodécagone semi-régalier. En d'autres termes, chaque nœud du réseau hexagonal de Bravais est rem- [4acé par un système de douze points disposés comme les points blancs de la figure 199, § 87. Snr la figure 302 les deux points formant on conple sont teintés également, celui qui se trouve sur le plan inférieur étant simplement à demi recouvert par l'antre. Dans le cas général, ce système a la symétrie de l'hémiédrie trapézoédrique du § 87 ; il devient holoédrique si la ligne de

174 raoï-BitliTÉe uoLÉcuLàiBi».

jonction de chaque couple de points est parallèle on perpendiculaire à l'axe principal, on bien encore si le point inférïeor d'un couple se trouve placé directement au-dessous do point supérieur du couple voisin.

6° Le système de la triple ^raîe composée à skc pomts (fig. 303),

7' Le systàne de In double sinrale composée à six points (fig. 304), et

8° Le système de la spirale composée à six points (,fig, 305)

se déduiscHt de la même manière des systèmes ii" 2, n' 3 et n° 4. Jift premier a la même symétrie que le systime ii" 5. Les dans antres ont les caractèroa de riiémiédrie tnipézoédrique.

On Vdit (juc l'holoédrie et trois des quatre méroédries à axe sénaire do système hexagonal sont représentées parmi les réseaux de M. Sohucko. Il manque l'hùminioiphie principale du § y». On arrive à des résultats analoguus pour les autres systèmes de symétrie.